Номер 14, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверь себя. Глава 4. Системы уравнений - номер 14, страница 224.

Условие.

14 В питомнике одинаковыми рядами высадили 90 ёлок. Оказалось, что число рядов на 1 меньше числа ёлок в каждом ряду. Сколько рядов и сколько ёлок в каждом ряду?

Пусть $x$ — число рядов, а $y$ — число ёлок в каждом ряду. Какая система уравнений соответствует условию задачи?

1) $ \begin{cases} xy=90 \\ y=x-1 \end{cases} $

2) $ \begin{cases} xy=90 \\ y-x=1 \end{cases} $

3) $ \begin{cases} xy=90 \\ x-y=1 \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 2(x+y)=90 \\ y-x=1 \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Сколько рядов и сколько ёлок в каждом ряду?

Для решения задачи введем переменные, как предложено в условии: пусть $x$ — это число рядов, а $y$ — число ёлок в каждом ряду. На основе текста задачи составим систему уравнений.

1. Первое условие гласит, что всего высадили 90 ёлок. Общее количество ёлок можно найти, умножив число рядов на количество ёлок в одном ряду. Отсюда получаем первое уравнение:
$x \cdot y = 90$

2. Второе условие говорит, что "число рядов на 1 меньше числа ёлок в каждом ряду". Это означает, что если из числа ёлок в ряду ($y$) вычесть число рядов ($x$), разница будет равна 1. Это дает нам второе уравнение:
$y - x = 1$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$$ \begin{cases} xy = 90 \\ y - x = 1 \end{cases} $$

Теперь решим эту систему. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = x + 1$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x(x + 1) = 90$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в квадратное:

$x^2 + x = 90$

$x^2 + x - 90 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать формулу корней или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-90$. Легко подобрать целые корни: $x_1 = 9$ и $x_2 = -10$.

Так как $x$ обозначает количество рядов, эта величина не может быть отрицательной. Поэтому корень $x_2 = -10$ не имеет физического смысла в контексте задачи. Остается единственный верный корень:

$x = 9$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, используя ранее полученное выражение $y = x + 1$:

$y = 9 + 1 = 10$

Проверим найденные значения:
Общее количество ёлок: $9 \text{ рядов} \times 10 \text{ ёлок/ряд} = 90$ ёлок. Верно.
Число рядов (9) на 1 меньше числа ёлок в ряду (10). $10 - 9 = 1$. Верно.

Ответ: было высажено 9 рядов по 10 ёлок в каждом ряду.

Какая система уравнений соответствует условию задачи?

Как было показано в решении выше, условия задачи переводятся в систему уравнений:

$$ \begin{cases} xy = 90 \\ y - x = 1 \end{cases} $$

Сравним эту систему с предложенными вариантами:

1) $\begin{cases} xy = 90 \\ y = x - 1 \end{cases}$ — Неверно, здесь число ёлок на 1 меньше числа рядов.

2) $\begin{cases} xy = 90 \\ y - x = 1 \end{cases}$ — Верно, эта система полностью соответствует нашему выводу.

3) $\begin{cases} xy = 90 \\ x - y = 1 \end{cases}$ — Неверно, здесь число рядов на 1 больше числа ёлок.

4) $\begin{cases} 2(x+y) = 90 \\ y - x = 1 \end{cases}$ — Неверно, первое уравнение описывает периметр, а не общее количество.

Следовательно, правильной является система уравнений, представленная под номером 2.

Ответ: система уравнений под номером 2.