Номер 8, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверь себя. Глава 4. Системы уравнений - номер 8, страница 224.

Условие.

8 Какая прямая проходит через I, II и III координатные четверти?

1) $y = -3x + 5$

2) $y = -3x - 5$

3) $y = 3x - 5$

4) $y = 3x + 5$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы определить, через какие координатные четверти проходит прямая, заданная уравнением вида $y = kx + b$, необходимо проанализировать знаки ее углового коэффициента $k$ и свободного члена $b$, который является ординатой точки пересечения прямой с осью $Oy$.

Координатные четверти определяются знаками координат $x$ и $y$:

• I четверть: $x > 0$, $y > 0$
• II четверть: $x < 0$, $y > 0$
• III четверть: $x < 0$, $y < 0$
• IV четверть: $x > 0$, $y < 0$

Прямая должна проходить через I, II и III четверти. Разберемся, каким условиям должны удовлетворять коэффициенты $k$ и $b$.
1. Чтобы прямая проходила через I и II четверти, она должна иметь точки с положительной ординатой ($y > 0$). Это означает, что она должна пересекать ось $Oy$ выше оси $Ox$. Точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0, b)$, следовательно, должно выполняться условие $b > 0$.
2. Чтобы прямая, уже проходящая через I и II четверти, попала также и в III четверть ($x < 0, y < 0$), она должна пересечь ось $Ox$ в ее отрицательной части. Найдем точку пересечения с осью $Ox$ (абсциссу), приравняв $y$ к нулю: $0 = kx + b \implies kx = -b \implies x = -b/k$. Чтобы эта точка была на отрицательной части оси $Ox$, нужно, чтобы $x < 0$, то есть $-b/k < 0$. Поскольку мы уже установили, что $b > 0$, это неравенство будет верным только если $k > 0$.
Итак, для того чтобы прямая проходила через I, II и III четверти, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия $k > 0$ и $b > 0$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов на соответствие этим условиям.

1) $y = -3x + 5$
В этом уравнении $k = -3$ и $b = 5$. Условие $k > 0$ не выполняется. Эта прямая убывает и проходит через I, II и IV четверти.

2) $y = -3x - 5$
В этом уравнении $k = -3$ и $b = -5$. Условия $k > 0$ и $b > 0$ не выполняются. Эта прямая убывает и проходит через II, III и IV четверти.

3) $y = 3x - 5$
В этом уравнении $k = 3$ и $b = -5$. Условие $b > 0$ не выполняется. Эта прямая возрастает, но проходит через I, III и IV четверти.

4) $y = 3x + 5$
В этом уравнении $k = 3$ и $b = 5$. Оба условия, $k > 0$ и $b > 0$, выполняются. Следовательно, эта прямая проходит через I, II и III четверти.

Ответ: 4