Страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

8 Какая прямая проходит через I, II и III координатные четверти?

1) $y = -3x + 5$

2) $y = -3x - 5$

3) $y = 3x - 5$

4) $y = 3x + 5$

Для того чтобы определить, через какие координатные четверти проходит прямая, заданная уравнением вида $y = kx + b$, необходимо проанализировать знаки ее углового коэффициента $k$ и свободного члена $b$, который является ординатой точки пересечения прямой с осью $Oy$.

Координатные четверти определяются знаками координат $x$ и $y$:

• I четверть: $x > 0$, $y > 0$
• II четверть: $x < 0$, $y > 0$
• III четверть: $x < 0$, $y < 0$
• IV четверть: $x > 0$, $y < 0$

Прямая должна проходить через I, II и III четверти. Разберемся, каким условиям должны удовлетворять коэффициенты $k$ и $b$.
1. Чтобы прямая проходила через I и II четверти, она должна иметь точки с положительной ординатой ($y > 0$). Это означает, что она должна пересекать ось $Oy$ выше оси $Ox$. Точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0, b)$, следовательно, должно выполняться условие $b > 0$.
2. Чтобы прямая, уже проходящая через I и II четверти, попала также и в III четверть ($x < 0, y < 0$), она должна пересечь ось $Ox$ в ее отрицательной части. Найдем точку пересечения с осью $Ox$ (абсциссу), приравняв $y$ к нулю: $0 = kx + b \implies kx = -b \implies x = -b/k$. Чтобы эта точка была на отрицательной части оси $Ox$, нужно, чтобы $x < 0$, то есть $-b/k < 0$. Поскольку мы уже установили, что $b > 0$, это неравенство будет верным только если $k > 0$.
Итак, для того чтобы прямая проходила через I, II и III четверти, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия $k > 0$ и $b > 0$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов на соответствие этим условиям.

1) $y = -3x + 5$
В этом уравнении $k = -3$ и $b = 5$. Условие $k > 0$ не выполняется. Эта прямая убывает и проходит через I, II и IV четверти.

2) $y = -3x - 5$
В этом уравнении $k = -3$ и $b = -5$. Условия $k > 0$ и $b > 0$ не выполняются. Эта прямая убывает и проходит через II, III и IV четверти.

3) $y = 3x - 5$
В этом уравнении $k = 3$ и $b = -5$. Условие $b > 0$ не выполняется. Эта прямая возрастает, но проходит через I, III и IV четверти.

4) $y = 3x + 5$
В этом уравнении $k = 3$ и $b = 5$. Оба условия, $k > 0$ и $b > 0$, выполняются. Следовательно, эта прямая проходит через I, II и III четверти.

Ответ: 4

9 Выберите уравнение прямой, параллельной прямой $y=4x$ и проходящей через точку $(10; 39)$.

1) $y=-4x$

2) $y=-4x+1$

3) $y=4x+1$

4) $y=4x-1$

Для того чтобы найти уравнение прямой, необходимо выполнить два условия, указанных в задаче: прямая должна быть параллельна прямой $y = 4x$ и проходить через точку $(10; 39)$.

1. Условие параллельности прямых.

Общий вид уравнения прямой — $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны.

У прямой, заданной уравнением $y = 4x$, угловой коэффициент $k = 4$. Следовательно, искомая прямая, будучи ей параллельной, должна иметь такой же угловой коэффициент. Таким образом, её уравнение будет иметь вид $y = 4x + b$.

Рассматривая предложенные варианты, мы можем сразу отбросить варианты 1) $y = -4x$ и 2) $y = -4x + 1$, так как их угловой коэффициент равен -4. Остаются варианты 3) $y = 4x + 1$ и 4) $y = 4x - 1$.

2. Условие прохождения прямой через точку.

Известно, что искомая прямая проходит через точку с координатами $(10; 39)$. Это означает, что если подставить значения $x = 10$ и $y = 39$ в уравнение прямой $y = 4x + b$, мы получим верное равенство. Сделаем это, чтобы найти значение $b$:

$39 = 4 \cdot 10 + b$

$39 = 40 + b$

Чтобы найти $b$, вычтем 40 из обеих частей уравнения:

$b = 39 - 40$

$b = -1$

Теперь, когда мы нашли $b$, мы можем записать полное уравнение искомой прямой: $y = 4x - 1$.

3. Выбор правильного ответа.

Полученное нами уравнение $y = 4x - 1$ соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4) $y=4x-1$

10 В какой координатной четверти находится точка пересечения прямых $2x - 3y = 5$ и $x - 6y = -2$?

1) в первой

2) во второй

3) в третьей

4) в четвёртой

Для того чтобы определить, в какой координатной четверти находится точка пересечения прямых, необходимо найти координаты этой точки. Координаты точки пересечения являются решением системы уравнений, задающих эти прямые.

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 3y = 5 \\ x - 6y = -2 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 6y - 2$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$2(6y - 2) - 3y = 5$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$12y - 4 - 3y = 5$

Приведем подобные слагаемые:

$9y - 4 = 5$

$9y = 5 + 4$

$9y = 9$

$y = 1$

Теперь найдем значение $x$, подставив найденное значение $y=1$ в выражение для $x$:

$x = 6 \cdot 1 - 2$

$x = 6 - 2$

$x = 4$

Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты $(4; 1)$.

Координатная плоскость разделена на четыре четверти:

• I четверть: $x > 0$, $y > 0$
• II четверть: $x < 0$, $y > 0$
• III четверть: $x < 0$, $y < 0$
• IV четверть: $x > 0$, $y < 0$

Так как у точки пересечения обе координаты положительны ($x = 4 > 0$ и $y = 1 > 0$), она находится в первой координатной четверти.

Ответ: в первой

11 Определите, через какую из заданных точек проходит прямая, изображённая на рисунке.

1) $ (6; 8) $

2) $ (8; 12) $

3) $ (15; 20) $

4) $ (16; 12) $

12 Какая из пар чисел является решением систе- мы уравнений

11. Для того чтобы определить, через какую из заданных точек проходит прямая, изображённая на рисунке, необходимо найти уравнение этой прямой.

Общий вид уравнения прямой: $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент (наклон прямой), а $b$ – ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

Из графика видно, что прямая проходит через начало координат, то есть через точку $(0; 0)$. Подставим эти координаты в уравнение прямой:

$0 = k \cdot 0 + b$

Отсюда следует, что $b=0$. Таким образом, уравнение прямой упрощается до вида $y = kx$.

Теперь найдём угловой коэффициент $k$. Для этого выберем на графике ещё одну точку, через которую проходит прямая и координаты которой легко определить по сетке. На осях отмечены единичные отрезки (значение "1"), которые равны двум клеткам. Это означает, что одна клетка на графике соответствует 0,5 единицы по каждой оси.

Мы видим, что прямая проходит через узел сетки, находящийся на 2 клетки вправо и на 3 клетки вверх от начала координат. Найдём координаты этой точки:

• по оси $x$: $2 \text{ клетки} \cdot 0,5 = 1$
• по оси $y$: $3 \text{ клетки} \cdot 0,5 = 1,5$

Таким образом, прямая проходит через точку $(1; 1,5)$.

Подставим координаты этой точки в наше уравнение $y = kx$, чтобы найти $k$:

$1,5 = k \cdot 1$

Отсюда $k = 1,5$. Представим коэффициент в виде обыкновенной дроби: $k = \frac{3}{2}$.

Итак, уравнение прямой, изображённой на рисунке, — $y = \frac{3}{2}x$.

Теперь проверим каждую из предложенных точек, подставляя их координаты ($x$ и $y$) в полученное уравнение, чтобы найти верное равенство.

1) (6; 8)

Подставляем $x = 6$ и $y = 8$: $8 = \frac{3}{2} \cdot 6 \Rightarrow 8 = 3 \cdot 3 \Rightarrow 8 = 9$. Равенство неверное.

2) (8; 12)

Подставляем $x = 8$ и $y = 12$: $12 = \frac{3}{2} \cdot 8 \Rightarrow 12 = 3 \cdot 4 \Rightarrow 12 = 12$. Равенство верное.

3) (15; 20)

Подставляем $x = 15$ и $y = 20$: $20 = \frac{3}{2} \cdot 15 \Rightarrow 20 = \frac{45}{2} \Rightarrow 20 = 22,5$. Равенство неверное.

4) (16; 12)

Подставляем $x = 16$ и $y = 12$: $12 = \frac{3}{2} \cdot 16 \Rightarrow 12 = 3 \cdot 8 \Rightarrow 12 = 24$. Равенство неверное.

Единственная точка, координаты которой удовлетворяют уравнению прямой, — это $(8; 12)$.

Ответ: 2) (8; 12)

12 Какая из пар чисел является решением системы уравнений

$\begin{cases} x + y = -5 \\ x^2 - y^2 = 13 \end{cases}$

1) (2; -7)

2) (-5; 0)

3) (-3,8; -1,2)

4) (-3,2; -1,8)

Для того чтобы определить, какая из предложенных пар чисел является решением системы уравнений, необходимо подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в оба уравнения. Решением будет та пара, которая обращает оба уравнения в верные числовые равенства.

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x + y = -5 \\ x^2 - y^2 = 13 \end{cases}$

1) (2; -7)

Подставляем $x = 2$ и $y = -7$ в систему:

Первое уравнение: $2 + (-7) = -5$. Равенство $-5 = -5$ верно.

Второе уравнение: $2^2 - (-7)^2 = 4 - 49 = -45$. Равенство $-45 = 13$ неверно.

Так как второе уравнение не выполняется, эта пара чисел не является решением системы.

2) (-5; 0)

Подставляем $x = -5$ и $y = 0$ в систему:

Первое уравнение: $-5 + 0 = -5$. Равенство $-5 = -5$ верно.

Второе уравнение: $(-5)^2 - 0^2 = 25 - 0 = 25$. Равенство $25 = 13$ неверно.

Так как второе уравнение не выполняется, эта пара чисел не является решением системы.

3) (-3,8; -1,2)

Подставляем $x = -3,8$ и $y = -1,2$ в систему:

Первое уравнение: $-3,8 + (-1,2) = -5$. Равенство $-5 = -5$ верно.

Второе уравнение: $(-3,8)^2 - (-1,2)^2 = 14,44 - 1,44 = 13$. Равенство $13 = 13$ верно.

Так как оба уравнения выполняются, эта пара чисел является решением системы.

4) (-3,2; -1,8)

Подставляем $x = -3,2$ и $y = -1,8$ в систему:

Первое уравнение: $-3,2 + (-1,8) = -5$. Равенство $-5 = -5$ верно.

Второе уравнение: $(-3,2)^2 - (-1,8)^2 = 10,24 - 3,24 = 7$. Равенство $7 = 13$ неверно.

Так как второе уравнение не выполняется, эта пара чисел не является решением системы.

Ответ: 3) (-3,8; -1,2)

13 Решите систему уравнений

$$ \begin{cases} 2x - 3y = 3 \\ \frac{2x}{3} + y = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - 3y = 3 \\ \frac{2x}{3} + y = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Для удобства решения умножим обе части второго уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$$ 3 \cdot \left(\frac{2x}{3} + y\right) = 3 \cdot \frac{1}{3} $$

$$ 2x + 3y = 1 $$

Теперь исходная система эквивалентна следующей системе:

$$ \begin{cases} 2x - 3y = 3 \\ 2x + 3y = 1 \end{cases} $$

Применим метод алгебраического сложения. Сложим почленно первое и второе уравнения системы. Это позволит нам исключить переменную $y$.

$$ (2x - 3y) + (2x + 3y) = 3 + 1 $$

$$ 4x = 4 $$

Отсюда находим значение $x$:

$$ x = \frac{4}{4} = 1 $$

Теперь подставим найденное значение $x=1$ в любое из уравнений полученной системы, например, во второе уравнение $2x + 3y = 1$, чтобы найти значение $y$:

$$ 2(1) + 3y = 1 $$

$$ 2 + 3y = 1 $$

$$ 3y = 1 - 2 $$

$$ 3y = -1 $$

$$ y = -\frac{1}{3} $$

Таким образом, решением системы является пара чисел $x=1$ и $y=-\frac{1}{3}$.

Ответ: $(1; -\frac{1}{3})$.

14 В питомнике одинаковыми рядами высадили 90 ёлок. Оказалось, что число рядов на 1 меньше числа ёлок в каждом ряду. Сколько рядов и сколько ёлок в каждом ряду?

Пусть $x$ — число рядов, а $y$ — число ёлок в каждом ряду. Какая система уравнений соответствует условию задачи?

1) $ \begin{cases} xy=90 \\ y=x-1 \end{cases} $

2) $ \begin{cases} xy=90 \\ y-x=1 \end{cases} $

3) $ \begin{cases} xy=90 \\ x-y=1 \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 2(x+y)=90 \\ y-x=1 \end{cases} $

Сколько рядов и сколько ёлок в каждом ряду?

Для решения задачи введем переменные, как предложено в условии: пусть $x$ — это число рядов, а $y$ — число ёлок в каждом ряду. На основе текста задачи составим систему уравнений.

1. Первое условие гласит, что всего высадили 90 ёлок. Общее количество ёлок можно найти, умножив число рядов на количество ёлок в одном ряду. Отсюда получаем первое уравнение:
$x \cdot y = 90$

2. Второе условие говорит, что "число рядов на 1 меньше числа ёлок в каждом ряду". Это означает, что если из числа ёлок в ряду ($y$) вычесть число рядов ($x$), разница будет равна 1. Это дает нам второе уравнение:
$y - x = 1$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$$ \begin{cases} xy = 90 \\ y - x = 1 \end{cases} $$

Теперь решим эту систему. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = x + 1$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x(x + 1) = 90$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в квадратное:

$x^2 + x = 90$

$x^2 + x - 90 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать формулу корней или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-90$. Легко подобрать целые корни: $x_1 = 9$ и $x_2 = -10$.

Так как $x$ обозначает количество рядов, эта величина не может быть отрицательной. Поэтому корень $x_2 = -10$ не имеет физического смысла в контексте задачи. Остается единственный верный корень:

$x = 9$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, используя ранее полученное выражение $y = x + 1$:

$y = 9 + 1 = 10$

Проверим найденные значения:
Общее количество ёлок: $9 \text{ рядов} \times 10 \text{ ёлок/ряд} = 90$ ёлок. Верно.
Число рядов (9) на 1 меньше числа ёлок в ряду (10). $10 - 9 = 1$. Верно.

Ответ: было высажено 9 рядов по 10 ёлок в каждом ряду.

Какая система уравнений соответствует условию задачи?

Как было показано в решении выше, условия задачи переводятся в систему уравнений:

$$ \begin{cases} xy = 90 \\ y - x = 1 \end{cases} $$

Сравним эту систему с предложенными вариантами:

1) $\begin{cases} xy = 90 \\ y = x - 1 \end{cases}$ — Неверно, здесь число ёлок на 1 меньше числа рядов.

2) $\begin{cases} xy = 90 \\ y - x = 1 \end{cases}$ — Верно, эта система полностью соответствует нашему выводу.

3) $\begin{cases} xy = 90 \\ x - y = 1 \end{cases}$ — Неверно, здесь число рядов на 1 больше числа ёлок.

4) $\begin{cases} 2(x+y) = 90 \\ y - x = 1 \end{cases}$ — Неверно, первое уравнение описывает периметр, а не общее количество.

Следовательно, правильной является система уравнений, представленная под номером 2.

Ответ: система уравнений под номером 2.