Страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

712 Решите систему уравнений:

a) $$\begin{cases} 17x + 13y = 40 \\ 13x + 17y = 50; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 12x - 19y = 10 \\ 18x - 11y = 50; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} 11x + 35y = 59 \\ 14x - 10y = -34; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} 16x - 17y = 49 \\ 14x + 47y = -19. \end{cases}$$

Указание. а) Сложите первое и второе уравнения системы; получится уравнение $30x + 30y = 90$, или $x + y = 3$. Затем решите систему

а) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 17x + 13y = 40 \\ 13x + 17y = 50 \end{cases} $$ Эта система имеет симметричные коэффициенты при $x$ и $y$. Для ее решения удобно применить метод сложения и вычитания уравнений. Сначала сложим два уравнения системы:
$(17x + 13y) + (13x + 17y) = 40 + 50$
$30x + 30y = 90$
Разделим обе части полученного уравнения на 30:
$x + y = 3$
Теперь мы можем заменить одно из уравнений исходной системы на это новое, более простое уравнение. Получим эквивалентную систему: $$ \begin{cases} 17x + 13y = 40 \\ x + y = 3 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 3 - x$
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$17x + 13(3 - x) = 40$
$17x + 39 - 13x = 40$
$4x + 39 = 40$
$4x = 1$
$x = \frac{1}{4}$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 3 - x$:
$y = 3 - \frac{1}{4} = \frac{12}{4} - \frac{1}{4} = \frac{11}{4}$
Ответ: $(\frac{1}{4}; \frac{11}{4})$.

б) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 12x - 19y = 10 \\ 18x - 11y = 50 \end{cases} $$ Решим эту систему методом алгебраического сложения (методом исключения). Для этого уравняем коэффициенты при переменной $x$. Найдем наименьшее общее кратное чисел 12 и 18, это 36.
Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2: $$ \begin{cases} 3 \cdot (12x - 19y) = 3 \cdot 10 \\ 2 \cdot (18x - 11y) = 2 \cdot 50 \end{cases} \implies \begin{cases} 36x - 57y = 30 \\ 36x - 22y = 100 \end{cases} $$ Теперь вычтем из второго уравнения первое:
$(36x - 22y) - (36x - 57y) = 100 - 30$
$36x - 22y - 36x + 57y = 70$
$35y = 70$
$y = \frac{70}{35} = 2$
Подставим найденное значение $y = 2$ в первое исходное уравнение:
$12x - 19(2) = 10$
$12x - 38 = 10$
$12x = 10 + 38$
$12x = 48$
$x = \frac{48}{12} = 4$
Ответ: $(4; 2)$.

в) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 11x + 35y = 59 \\ 14x - 10y = -34 \end{cases} $$ Заметим, что второе уравнение можно упростить, разделив все его члены на 2:
$(14x - 10y) : 2 = -34 : 2$
$7x - 5y = -17$
Теперь система выглядит так: $$ \begin{cases} 11x + 35y = 59 \\ 7x - 5y = -17 \end{cases} $$ Решим систему методом сложения. Удобно уравнять коэффициенты при $y$, так как 35 делится на 5. Умножим второе уравнение на 7:
$7 \cdot (7x - 5y) = 7 \cdot (-17)$
$49x - 35y = -119$
Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:
$(11x + 35y) + (49x - 35y) = 59 + (-119)$
$60x = -60$
$x = -1$
Подставим найденное значение $x = -1$ в упрощенное второе уравнение $7x - 5y = -17$:
$7(-1) - 5y = -17$
$-7 - 5y = -17$
$-5y = -17 + 7$
$-5y = -10$
$y = \frac{-10}{-5} = 2$
Ответ: $(-1; 2)$.

г) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 16x - 17y = 49 \\ 14x + 47y = -19 \end{cases} $$ Как и в пункте а), попробуем сложить уравнения, так как это может упростить систему.
$(16x - 17y) + (14x + 47y) = 49 + (-19)$
$30x + 30y = 30$
Разделим обе части уравнения на 30:
$x + y = 1$
Теперь решим новую систему, заменив одно из уравнений на полученное: $$ \begin{cases} 16x - 17y = 49 \\ x + y = 1 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 1 - x$
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$16x - 17(1 - x) = 49$
$16x - 17 + 17x = 49$
$33x = 49 + 17$
$33x = 66$
$x = \frac{66}{33} = 2$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 1 - x$:
$y = 1 - 2 = -1$
Ответ: $(2; -1)$.

713 Найдите сумму $x + y$, если $(x; y)$ — решение системы уравнений:

а) $\begin{cases} 16x + 9y = 30 \\ 9x + 16y = 70; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 12x + 11y = 8 \\ 11x + 12y = 61. \end{cases}$

а) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 16x + 9y = 30 \\ 9x + 16y = 70\end{cases}$
Чтобы найти сумму $x+y$, не обязательно решать систему и находить каждую переменную в отдельности. Заметим, что коэффициенты при $x$ и $y$ в уравнениях симметричны (коэффициент при $x$ в первом уравнении равен коэффициенту при $y$ во втором, и наоборот). В таких случаях удобно сложить уравнения системы почленно.
Сложим левые и правые части уравнений:
$(16x + 9y) + (9x + 16y) = 30 + 70$
Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:
$(16x + 9x) + (9y + 16y) = 100$
$25x + 25y = 100$
Вынесем общий множитель 25 за скобки:
$25(x + y) = 100$
Теперь разделим обе части уравнения на 25, чтобы найти искомую сумму $x+y$:
$x + y = \frac{100}{25}$
$x + y = 4$
Ответ: 4

б) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 12x + 11y = 8 \\ 11x + 12y = 61\end{cases}$
Эта система также имеет симметричные коэффициенты при переменных. Применим тот же метод, что и в пункте а) — сложим уравнения системы.
Сложим почленно левые и правые части уравнений:
$(12x + 11y) + (11x + 12y) = 8 + 61$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(12x + 11x) + (11y + 12y) = 69$
$23x + 23y = 69$
Вынесем за скобки общий множитель 23:
$23(x + y) = 69$
Разделим обе части уравнения на 23, чтобы найти сумму $x+y$:
$x + y = \frac{69}{23}$
$x + y = 3$
Ответ: 3

714 Найдите сумму $x + y + z$, если:

a) $\begin{cases} \frac{x}{12} - \frac{y}{4} + \frac{z}{3} = 1 \\ \frac{x}{5} + \frac{z}{10} + \frac{y}{3} = 1 \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x}{6} - \frac{y}{4} - \frac{z}{12} = 5 \\ \frac{x}{8} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 10 \end{cases}$

а) Для того чтобы найти сумму $x + y + z$, не обязательно находить значения каждой переменной в отдельности. Преобразуем каждое уравнение системы, избавившись от знаменателей.

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x}{12} - \frac{y}{4} + \frac{z}{3} = 1 \\ \frac{x}{5} + \frac{z}{10} + \frac{y}{3} = 1 \end{cases} $

1. Умножим первое уравнение на общий знаменатель 12:
$12 \cdot (\frac{x}{12} - \frac{y}{4} + \frac{z}{3}) = 12 \cdot 1$
$x - 3y + 4z = 12$

2. Перепишем второе уравнение, сгруппировав переменные: $\frac{x}{5} + \frac{y}{3} + \frac{z}{10} = 1$. Умножим его на общий знаменатель 30:
$30 \cdot (\frac{x}{5} + \frac{y}{3} + \frac{z}{10}) = 30 \cdot 1$
$6x + 10y + 3z = 30$

3. Теперь у нас есть новая система уравнений:
$ \begin{cases} x - 3y + 4z = 12 \\ 6x + 10y + 3z = 30 \end{cases} $

4. Сложим эти два уравнения:
$(x - 3y + 4z) + (6x + 10y + 3z) = 12 + 30$
$(x + 6x) + (-3y + 10y) + (4z + 3z) = 42$
$7x + 7y + 7z = 42$

5. Вынесем общий множитель 7 за скобки:
$7(x + y + z) = 42$

6. Разделим обе части уравнения на 7, чтобы найти искомую сумму:
$x + y + z = \frac{42}{7}$
$x + y + z = 6$

Ответ: 6

б) Решим вторую систему аналогичным способом.

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x}{6} - \frac{y}{4} - \frac{z}{12} = 5 \\ \frac{x}{8} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 10 \end{cases} $

1. Умножим первое уравнение на общий знаменатель 12:
$12 \cdot (\frac{x}{6} - \frac{y}{4} - \frac{z}{12}) = 12 \cdot 5$
$2x - 3y - z = 60$

2. Умножим второе уравнение на общий знаменатель 24:
$24 \cdot (\frac{x}{8} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4}) = 24 \cdot 10$
$3x + 8y + 6z = 240$

3. Получили новую систему уравнений:
$ \begin{cases} 2x - 3y - z = 60 \\ 3x + 8y + 6z = 240 \end{cases} $

4. Сложим эти два уравнения:
$(2x - 3y - z) + (3x + 8y + 6z) = 60 + 240$
$(2x + 3x) + (-3y + 8y) + (-z + 6z) = 300$
$5x + 5y + 5z = 300$

5. Вынесем общий множитель 5 за скобки:
$5(x + y + z) = 300$

6. Разделим обе части уравнения на 5:
$x + y + z = \frac{300}{5}$
$x + y + z = 60$

Ответ: 60

Решите задачу (715–718).

715 а) Сестра старше брата на 4 года. Через год она будет старше его в 3 раза. Сколько лет сейчас каждому?

б) Возраст сестры сейчас составляет $\frac{3}{4}$ возраста брата, а 8 лет назад брат был в 2 раза старше сестры. Сколько лет каждому сейчас?

а)

Пусть возраст брата сейчас составляет $x$ лет. Так как сестра старше брата на 4 года, ее возраст сейчас — $(x+4)$ лет.

Через год возраст брата будет $(x+1)$ год, а возраст сестры — $(x+4)+1 = (x+5)$ лет.

По условию задачи, через год сестра будет старше брата в 3 раза. Составим и решим уравнение:

$x+5 = 3 \cdot (x+1)$

$x+5 = 3x+3$

$5-3 = 3x-x$

$2 = 2x$

$x = 1$

Следовательно, возраст брата сейчас — 1 год.

Тогда возраст сестры сейчас: $1+4=5$ лет.

Проверка: сейчас сестре 5 лет, а брату 1 год (разница 4 года). Через год сестре будет 6 лет, а брату 2 года. Сестра будет в 3 раза старше, так как $6 = 3 \cdot 2$. Все условия верны.

Ответ: сестре 5 лет, брату 1 год.

б)

Пусть возраст сестры сейчас $s$ лет, а возраст брата — $b$ лет.

Из первого условия "возраст сестры сейчас составляет $\frac{3}{4}$ возраста брата" получаем уравнение:

$s = \frac{3}{4}b$

8 лет назад возраст сестры был $(s-8)$ лет, а возраст брата — $(b-8)$ лет.

Из второго условия "8 лет назад брат был в 2 раза старше сестры" получаем второе уравнение:

$b-8 = 2 \cdot (s-8)$

Мы получили систему из двух уравнений. Подставим выражение для $s$ из первого уравнения во второе:

$b-8 = 2 \cdot (\frac{3}{4}b - 8)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $b$:

$b-8 = 2 \cdot \frac{3}{4}b - 2 \cdot 8$

$b-8 = \frac{3}{2}b - 16$

Перенесем слагаемые, чтобы сгруппировать переменные и числа:

$16 - 8 = \frac{3}{2}b - b$

$8 = (\frac{3}{2}-1)b$

$8 = \frac{1}{2}b$

$b = 8 \cdot 2 = 16$

Таким образом, возраст брата сейчас — 16 лет.

Теперь найдем возраст сестры, используя первое уравнение:

$s = \frac{3}{4} \cdot 16 = 3 \cdot 4 = 12$ лет.

Проверка: сейчас сестре 12 лет, брату 16 лет. Возраст сестры составляет $\frac{12}{16} = \frac{3}{4}$ возраста брата. 8 лет назад сестре было $12-8=4$ года, а брату $16-8=8$ лет. Брат был в 2 раза старше, так как $8 = 2 \cdot 4$. Все условия верны.

Ответ: сестре 12 лет, брату 16 лет.

716 а) Школьная баскетбольная команда в двух играх заработала 95 очков. Количество очков, полученных во второй игре, на 5 больше, чем удвоенное количество очков, полученных в первой игре. Сколько очков заработала команда в каждой игре?

б) Для учащихся 8 класса составили работу из заданий по алгебре и геометрии. Если каждое задание по алгебре оценивать в 2 балла, а каждое задание по геометрии — в 3 балла, то максимальное число баллов за работу будет равно 38. Если каждое задание по алгебре оценивать в 3 балла, а каждое задание по геометрии — в 2 балла, то максимальное число баллов за работу будет равно 37. Сколько заданий содержит работа?

а) Решим задачу с помощью составления уравнения. Пусть $x$ — это количество очков, которые команда заработала в первой игре. Тогда удвоенное количество очков в первой игре будет $2x$. По условию, во второй игре команда заработала на 5 очков больше, чем удвоенное количество очков в первой игре, то есть $2x + 5$ очков. Всего за две игры команда заработала 95 очков. Составим и решим уравнение:

$x + (2x + 5) = 95$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x + 5 = 95$

Перенесем 5 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$3x = 95 - 5$

$3x = 90$

Найдем $x$:

$x = 90 / 3$

$x = 30$

Итак, в первой игре команда заработала 30 очков. Теперь найдем, сколько очков команда заработала во второй игре:

$2x + 5 = 2 \cdot 30 + 5 = 60 + 5 = 65$

Во второй игре команда заработала 65 очков. Проверим, что общая сумма очков равна 95: $30 + 65 = 95$. Условие выполняется.

Ответ: в первой игре команда заработала 30 очков, а во второй — 65 очков.

б) Пусть в работе было $a$ заданий по алгебре и $g$ заданий по геометрии. Исходя из условий задачи, составим систему из двух линейных уравнений.

1. Если каждое задание по алгебре оценивать в 2 балла, а по геометрии — в 3 балла, то максимальное число баллов равно 38. Это можно записать в виде уравнения:

$2a + 3g = 38$

2. Если каждое задание по алгебре оценивать в 3 балла, а по геометрии — в 2 балла, то максимальное число баллов равно 37. Это можно записать в виде второго уравнения:

$3a + 2g = 37$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 2a + 3g = 38 \\ 3a + 2g = 37 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Сложим оба уравнения:

$(2a + 3g) + (3a + 2g) = 38 + 37$

$5a + 5g = 75$

Разделим обе части уравнения на 5:

$a + g = 15$

Сумма $a + g$ представляет собой общее количество заданий в работе. Таким образом, мы уже нашли ответ.

Можно также найти количество заданий по каждому предмету. Выразим $a$ из полученного уравнения: $a = 15 - g$. Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:

$2(15 - g) + 3g = 38$

$30 - 2g + 3g = 38$

$g = 38 - 30$

$g = 8$

В работе было 8 заданий по геометрии. Теперь найдем количество заданий по алгебре:

$a = 15 - g = 15 - 8 = 7$

В работе было 7 заданий по алгебре. Общее количество заданий: $7 + 8 = 15$.

Ответ: работа содержит 15 заданий.