Номер 714, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 4. Системы уравнений - номер 714, страница 218.

Условие.

714 Найдите сумму $x + y + z$, если:

a) $\begin{cases} \frac{x}{12} - \frac{y}{4} + \frac{z}{3} = 1 \\ \frac{x}{5} + \frac{z}{10} + \frac{y}{3} = 1 \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x}{6} - \frac{y}{4} - \frac{z}{12} = 5 \\ \frac{x}{8} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 10 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для того чтобы найти сумму $x + y + z$, не обязательно находить значения каждой переменной в отдельности. Преобразуем каждое уравнение системы, избавившись от знаменателей.

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x}{12} - \frac{y}{4} + \frac{z}{3} = 1 \\ \frac{x}{5} + \frac{z}{10} + \frac{y}{3} = 1 \end{cases} $

1. Умножим первое уравнение на общий знаменатель 12:
$12 \cdot (\frac{x}{12} - \frac{y}{4} + \frac{z}{3}) = 12 \cdot 1$
$x - 3y + 4z = 12$

2. Перепишем второе уравнение, сгруппировав переменные: $\frac{x}{5} + \frac{y}{3} + \frac{z}{10} = 1$. Умножим его на общий знаменатель 30:
$30 \cdot (\frac{x}{5} + \frac{y}{3} + \frac{z}{10}) = 30 \cdot 1$
$6x + 10y + 3z = 30$

3. Теперь у нас есть новая система уравнений:
$ \begin{cases} x - 3y + 4z = 12 \\ 6x + 10y + 3z = 30 \end{cases} $

4. Сложим эти два уравнения:
$(x - 3y + 4z) + (6x + 10y + 3z) = 12 + 30$
$(x + 6x) + (-3y + 10y) + (4z + 3z) = 42$
$7x + 7y + 7z = 42$

5. Вынесем общий множитель 7 за скобки:
$7(x + y + z) = 42$

6. Разделим обе части уравнения на 7, чтобы найти искомую сумму:
$x + y + z = \frac{42}{7}$
$x + y + z = 6$

Ответ: 6

б) Решим вторую систему аналогичным способом.

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x}{6} - \frac{y}{4} - \frac{z}{12} = 5 \\ \frac{x}{8} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 10 \end{cases} $

1. Умножим первое уравнение на общий знаменатель 12:
$12 \cdot (\frac{x}{6} - \frac{y}{4} - \frac{z}{12}) = 12 \cdot 5$
$2x - 3y - z = 60$

2. Умножим второе уравнение на общий знаменатель 24:
$24 \cdot (\frac{x}{8} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4}) = 24 \cdot 10$
$3x + 8y + 6z = 240$

3. Получили новую систему уравнений:
$ \begin{cases} 2x - 3y - z = 60 \\ 3x + 8y + 6z = 240 \end{cases} $

4. Сложим эти два уравнения:
$(2x - 3y - z) + (3x + 8y + 6z) = 60 + 240$
$(2x + 3x) + (-3y + 8y) + (-z + 6z) = 300$
$5x + 5y + 5z = 300$

5. Вынесем общий множитель 5 за скобки:
$5(x + y + z) = 300$

6. Разделим обе части уравнения на 5:
$x + y + z = \frac{300}{5}$
$x + y + z = 60$

Ответ: 60