Номер 720, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 4. Системы уравнений - номер 720, страница 219.

Условие.

720 Три сосуда вместе имеют вместимость, равную 80 л. Если первый сосуд наполнить водой и затем перелить её в два других сосуда, то либо второй сосуд наполнится доверху, а третий — на $\frac{3}{5}$, либо третий сосуд наполнится доверху, а второй — на $\frac{1}{2}$.

Найдите вместимость каждого сосуда.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Обозначим вместимость первого, второго и третьего сосудов как $V_1$, $V_2$ и $V_3$ соответственно. Все объемы измеряются в литрах.

Согласно условию задачи, общая вместимость трех сосудов составляет 80 литров. Это можно записать в виде уравнения:

$V_1 + V_2 + V_3 = 80$

Далее, первый сосуд наполняют водой (объем воды равен $V_1$) и переливают эту воду в два других сосуда. Возможны два исхода:

1. Второй сосуд наполняется полностью, а третий — на $\frac{3}{5}$ своего объема. Это означает, что объем воды из первого сосуда равен сумме полного объема второго сосуда и $\frac{3}{5}$ объема третьего:

$V_1 = V_2 + \frac{3}{5}V_3$

2. Третий сосуд наполняется полностью, а второй — на $\frac{1}{2}$ своего объема. Это означает, что объем воды из первого сосуда равен сумме полного объема третьего сосуда и $\frac{1}{2}$ объема второго:

$V_1 = V_3 + \frac{1}{2}V_2$

Мы получили систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

$V_1 + V_2 + V_3 = 80$ (1)
$V_1 = V_2 + \frac{3}{5}V_3$ (2)
$V_1 = V_3 + \frac{1}{2}V_2$ (3)

Поскольку левые части уравнений (2) и (3) равны, мы можем приравнять их правые части, чтобы найти соотношение между $V_2$ и $V_3$:

$V_2 + \frac{3}{5}V_3 = V_3 + \frac{1}{2}V_2$

Перенесем слагаемые с $V_2$ в левую часть, а с $V_3$ — в правую:

$V_2 - \frac{1}{2}V_2 = V_3 - \frac{3}{5}V_3$

Выполним вычитание:

$\frac{1}{2}V_2 = \frac{2}{5}V_3$

Теперь выразим $V_2$ через $V_3$, умножив обе части на 2:

$V_2 = 2 \cdot \frac{2}{5}V_3 = \frac{4}{5}V_3$

Теперь подставим полученное выражение для $V_2$ в уравнение (3), чтобы выразить $V_1$ через $V_3$:

$V_1 = V_3 + \frac{1}{2}V_2 = V_3 + \frac{1}{2}\left(\frac{4}{5}V_3\right) = V_3 + \frac{2}{5}V_3 = \frac{5}{5}V_3 + \frac{2}{5}V_3 = \frac{7}{5}V_3$

Теперь у нас есть выражения для $V_1$ и $V_2$, зависящие только от $V_3$. Подставим их в первое уравнение системы (1):

$V_1 + V_2 + V_3 = 80$

$\frac{7}{5}V_3 + \frac{4}{5}V_3 + V_3 = 80$

Сложим все слагаемые в левой части:

$\frac{7V_3 + 4V_3 + 5V_3}{5} = 80$

$\frac{16V_3}{5} = 80$

Найдем $V_3$:

$V_3 = \frac{80 \cdot 5}{16} = 5 \cdot 5 = 25$

Итак, вместимость третьего сосуда равна 25 литрам.

Теперь, зная $V_3$, найдем вместимость второго сосуда:

$V_2 = \frac{4}{5}V_3 = \frac{4}{5} \cdot 25 = 4 \cdot 5 = 20$

Вместимость второго сосуда равна 20 литрам.

И, наконец, найдем вместимость первого сосуда:

$V_1 = \frac{7}{5}V_3 = \frac{7}{5} \cdot 25 = 7 \cdot 5 = 35$

Вместимость первого сосуда равна 35 литрам.

Проверим, что сумма объемов равна 80 л: $35 + 20 + 25 = 80$ л. Условие выполняется.

Ответ: вместимость первого сосуда — 35 л, второго — 20 л, третьего — 25 л.