Номер 713, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 4. Системы уравнений - номер 713, страница 218.

Условие.

713 Найдите сумму $x + y$, если $(x; y)$ — решение системы уравнений:

а) $\begin{cases} 16x + 9y = 30 \\ 9x + 16y = 70; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 12x + 11y = 8 \\ 11x + 12y = 61. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 16x + 9y = 30 \\ 9x + 16y = 70\end{cases}$
Чтобы найти сумму $x+y$, не обязательно решать систему и находить каждую переменную в отдельности. Заметим, что коэффициенты при $x$ и $y$ в уравнениях симметричны (коэффициент при $x$ в первом уравнении равен коэффициенту при $y$ во втором, и наоборот). В таких случаях удобно сложить уравнения системы почленно.
Сложим левые и правые части уравнений:
$(16x + 9y) + (9x + 16y) = 30 + 70$
Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:
$(16x + 9x) + (9y + 16y) = 100$
$25x + 25y = 100$
Вынесем общий множитель 25 за скобки:
$25(x + y) = 100$
Теперь разделим обе части уравнения на 25, чтобы найти искомую сумму $x+y$:
$x + y = \frac{100}{25}$
$x + y = 4$
Ответ: 4

б) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 12x + 11y = 8 \\ 11x + 12y = 61\end{cases}$
Эта система также имеет симметричные коэффициенты при переменных. Применим тот же метод, что и в пункте а) — сложим уравнения системы.
Сложим почленно левые и правые части уравнений:
$(12x + 11y) + (11x + 12y) = 8 + 61$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(12x + 11x) + (11y + 12y) = 69$
$23x + 23y = 69$
Вынесем за скобки общий множитель 23:
$23(x + y) = 69$
Разделим обе части уравнения на 23, чтобы найти сумму $x+y$:
$x + y = \frac{69}{23}$
$x + y = 3$
Ответ: 3