Номер 711, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 4. Системы уравнений. Дополнительные задания - номер 711, страница 217.

Условие.

711 a) Найдите все точки первой четверти с целыми координатами, через которые проходит прямая $x + 2y = 9$.

б) Найдите все точки второй четверти с целыми координатами, через которые проходит прямая $2y - 3x = 15$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Найдём все точки первой четверти с целыми координатами, через которые проходит прямая $x + 2y = 9$.

Точка $(x; y)$ находится в первой четверти, если её координаты положительны: $x > 0$ и $y > 0$. По условию, координаты $x$ и $y$ также должны быть целыми числами.

Выразим переменную $x$ из уравнения прямой:

$x = 9 - 2y$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть целыми числами, мы можем подставлять целые значения $y$ и находить для них целые значения $x$. Применим условия для первой четверти:

1. $y > 0$. Так как $y$ — целое, то $y \ge 1$.
2. $x > 0 \implies 9 - 2y > 0 \implies 9 > 2y \implies y < 4.5$.

Объединив условия, получаем, что $y$ должен быть целым числом в интервале $1 \le y < 4.5$. Возможные значения для $y$: $1, 2, 3, 4$.

Найдём соответствующие значения $x$ для каждого $y$:

- при $y = 1, x = 9 - 2(1) = 7$. Точка $(7; 1)$.
- при $y = 2, x = 9 - 2(2) = 5$. Точка $(5; 2)$.
- при $y = 3, x = 9 - 2(3) = 3$. Точка $(3; 3)$.
- при $y = 4, x = 9 - 2(4) = 1$. Точка $(1; 4)$.

Все четыре точки имеют целые положительные координаты и лежат на заданной прямой.

Ответ: $(1; 4), (3; 3), (5; 2), (7; 1)$.

б) Найдём все точки второй четверти с целыми координатами, через которые проходит прямая $2y - 3x = 15$.

Точка $(x; y)$ находится во второй четверти, если её абсцисса отрицательна, а ордината положительна: $x < 0$ и $y > 0$. Координаты $x$ и $y$ должны быть целыми.

Выразим переменную $y$ из уравнения прямой:

$2y = 3x + 15$

$y = \frac{3x + 15}{2}$

Для того чтобы $y$ был целым числом, числитель $(3x + 15)$ должен быть чётным. Так как 15 — нечётное число, то и слагаемое $3x$ должно быть нечётным (сумма двух нечётных чисел чётна). Произведение $3x$ будет нечётным только в том случае, если $x$ — нечётное целое число.

Применим условия для второй четверти:

1. $x < 0$.
2. $y > 0 \implies \frac{3x + 15}{2} > 0 \implies 3x + 15 > 0 \implies 3x > -15 \implies x > -5$.

Итак, нам нужно найти все нечётные целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-5 < x < 0$.

Такими числами являются $x = -1$ и $x = -3$.

Найдём соответствующие значения $y$ для каждого $x$:

- при $x = -1, y = \frac{3(-1) + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6$. Точка $(-1; 6)$.
- при $x = -3, y = \frac{3(-3) + 15}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Точка $(-3; 3)$.

Обе точки имеют целые координаты и удовлетворяют условиям второй четверти ($x < 0, y > 0$).

Ответ: $(-3; 3), (-1; 6)$.