Номер 715, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 4. Системы уравнений - номер 715, страница 218.

Условие.

Решите задачу (715–718).

715 а) Сестра старше брата на 4 года. Через год она будет старше его в 3 раза. Сколько лет сейчас каждому?

б) Возраст сестры сейчас составляет $\frac{3}{4}$ возраста брата, а 8 лет назад брат был в 2 раза старше сестры. Сколько лет каждому сейчас?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Пусть возраст брата сейчас составляет $x$ лет. Так как сестра старше брата на 4 года, ее возраст сейчас — $(x+4)$ лет.

Через год возраст брата будет $(x+1)$ год, а возраст сестры — $(x+4)+1 = (x+5)$ лет.

По условию задачи, через год сестра будет старше брата в 3 раза. Составим и решим уравнение:

$x+5 = 3 \cdot (x+1)$

$x+5 = 3x+3$

$5-3 = 3x-x$

$2 = 2x$

$x = 1$

Следовательно, возраст брата сейчас — 1 год.

Тогда возраст сестры сейчас: $1+4=5$ лет.

Проверка: сейчас сестре 5 лет, а брату 1 год (разница 4 года). Через год сестре будет 6 лет, а брату 2 года. Сестра будет в 3 раза старше, так как $6 = 3 \cdot 2$. Все условия верны.

Ответ: сестре 5 лет, брату 1 год.

б)

Пусть возраст сестры сейчас $s$ лет, а возраст брата — $b$ лет.

Из первого условия "возраст сестры сейчас составляет $\frac{3}{4}$ возраста брата" получаем уравнение:

$s = \frac{3}{4}b$

8 лет назад возраст сестры был $(s-8)$ лет, а возраст брата — $(b-8)$ лет.

Из второго условия "8 лет назад брат был в 2 раза старше сестры" получаем второе уравнение:

$b-8 = 2 \cdot (s-8)$

Мы получили систему из двух уравнений. Подставим выражение для $s$ из первого уравнения во второе:

$b-8 = 2 \cdot (\frac{3}{4}b - 8)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $b$:

$b-8 = 2 \cdot \frac{3}{4}b - 2 \cdot 8$

$b-8 = \frac{3}{2}b - 16$

Перенесем слагаемые, чтобы сгруппировать переменные и числа:

$16 - 8 = \frac{3}{2}b - b$

$8 = (\frac{3}{2}-1)b$

$8 = \frac{1}{2}b$

$b = 8 \cdot 2 = 16$

Таким образом, возраст брата сейчас — 16 лет.

Теперь найдем возраст сестры, используя первое уравнение:

$s = \frac{3}{4} \cdot 16 = 3 \cdot 4 = 12$ лет.

Проверка: сейчас сестре 12 лет, брату 16 лет. Возраст сестры составляет $\frac{12}{16} = \frac{3}{4}$ возраста брата. 8 лет назад сестре было $12-8=4$ года, а брату $16-8=8$ лет. Брат был в 2 раза старше, так как $8 = 2 \cdot 4$. Все условия верны.

Ответ: сестре 12 лет, брату 16 лет.