Номер 712, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 4. Системы уравнений - номер 712, страница 218.

Условие.

712 Решите систему уравнений:

a) $$\begin{cases} 17x + 13y = 40 \\ 13x + 17y = 50; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 12x - 19y = 10 \\ 18x - 11y = 50; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} 11x + 35y = 59 \\ 14x - 10y = -34; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} 16x - 17y = 49 \\ 14x + 47y = -19. \end{cases}$$

Указание. а) Сложите первое и второе уравнения системы; получится уравнение $30x + 30y = 90$, или $x + y = 3$. Затем решите систему

$$\begin{cases} 17x + 13y = 40 \\ x + y = 3. \end{cases}$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 17x + 13y = 40 \\ 13x + 17y = 50 \end{cases} $$ Эта система имеет симметричные коэффициенты при $x$ и $y$. Для ее решения удобно применить метод сложения и вычитания уравнений. Сначала сложим два уравнения системы:
$(17x + 13y) + (13x + 17y) = 40 + 50$
$30x + 30y = 90$
Разделим обе части полученного уравнения на 30:
$x + y = 3$
Теперь мы можем заменить одно из уравнений исходной системы на это новое, более простое уравнение. Получим эквивалентную систему: $$ \begin{cases} 17x + 13y = 40 \\ x + y = 3 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 3 - x$
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$17x + 13(3 - x) = 40$
$17x + 39 - 13x = 40$
$4x + 39 = 40$
$4x = 1$
$x = \frac{1}{4}$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 3 - x$:
$y = 3 - \frac{1}{4} = \frac{12}{4} - \frac{1}{4} = \frac{11}{4}$
Ответ: $(\frac{1}{4}; \frac{11}{4})$.

б) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 12x - 19y = 10 \\ 18x - 11y = 50 \end{cases} $$ Решим эту систему методом алгебраического сложения (методом исключения). Для этого уравняем коэффициенты при переменной $x$. Найдем наименьшее общее кратное чисел 12 и 18, это 36.
Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2: $$ \begin{cases} 3 \cdot (12x - 19y) = 3 \cdot 10 \\ 2 \cdot (18x - 11y) = 2 \cdot 50 \end{cases} \implies \begin{cases} 36x - 57y = 30 \\ 36x - 22y = 100 \end{cases} $$ Теперь вычтем из второго уравнения первое:
$(36x - 22y) - (36x - 57y) = 100 - 30$
$36x - 22y - 36x + 57y = 70$
$35y = 70$
$y = \frac{70}{35} = 2$
Подставим найденное значение $y = 2$ в первое исходное уравнение:
$12x - 19(2) = 10$
$12x - 38 = 10$
$12x = 10 + 38$
$12x = 48$
$x = \frac{48}{12} = 4$
Ответ: $(4; 2)$.

в) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 11x + 35y = 59 \\ 14x - 10y = -34 \end{cases} $$ Заметим, что второе уравнение можно упростить, разделив все его члены на 2:
$(14x - 10y) : 2 = -34 : 2$
$7x - 5y = -17$
Теперь система выглядит так: $$ \begin{cases} 11x + 35y = 59 \\ 7x - 5y = -17 \end{cases} $$ Решим систему методом сложения. Удобно уравнять коэффициенты при $y$, так как 35 делится на 5. Умножим второе уравнение на 7:
$7 \cdot (7x - 5y) = 7 \cdot (-17)$
$49x - 35y = -119$
Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:
$(11x + 35y) + (49x - 35y) = 59 + (-119)$
$60x = -60$
$x = -1$
Подставим найденное значение $x = -1$ в упрощенное второе уравнение $7x - 5y = -17$:
$7(-1) - 5y = -17$
$-7 - 5y = -17$
$-5y = -17 + 7$
$-5y = -10$
$y = \frac{-10}{-5} = 2$
Ответ: $(-1; 2)$.

г) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 16x - 17y = 49 \\ 14x + 47y = -19 \end{cases} $$ Как и в пункте а), попробуем сложить уравнения, так как это может упростить систему.
$(16x - 17y) + (14x + 47y) = 49 + (-19)$
$30x + 30y = 30$
Разделим обе части уравнения на 30:
$x + y = 1$
Теперь решим новую систему, заменив одно из уравнений на полученное: $$ \begin{cases} 16x - 17y = 49 \\ x + y = 1 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 1 - x$
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$16x - 17(1 - x) = 49$
$16x - 17 + 17x = 49$
$33x = 49 + 17$
$33x = 66$
$x = \frac{66}{33} = 2$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 1 - x$:
$y = 1 - 2 = -1$
Ответ: $(2; -1)$.