Номер 716, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 4. Системы уравнений - номер 716, страница 218.

Условие.

716 а) Школьная баскетбольная команда в двух играх заработала 95 очков. Количество очков, полученных во второй игре, на 5 больше, чем удвоенное количество очков, полученных в первой игре. Сколько очков заработала команда в каждой игре?

б) Для учащихся 8 класса составили работу из заданий по алгебре и геометрии. Если каждое задание по алгебре оценивать в 2 балла, а каждое задание по геометрии — в 3 балла, то максимальное число баллов за работу будет равно 38. Если каждое задание по алгебре оценивать в 3 балла, а каждое задание по геометрии — в 2 балла, то максимальное число баллов за работу будет равно 37. Сколько заданий содержит работа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим задачу с помощью составления уравнения. Пусть $x$ — это количество очков, которые команда заработала в первой игре. Тогда удвоенное количество очков в первой игре будет $2x$. По условию, во второй игре команда заработала на 5 очков больше, чем удвоенное количество очков в первой игре, то есть $2x + 5$ очков. Всего за две игры команда заработала 95 очков. Составим и решим уравнение:

$x + (2x + 5) = 95$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x + 5 = 95$

Перенесем 5 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$3x = 95 - 5$

$3x = 90$

Найдем $x$:

$x = 90 / 3$

$x = 30$

Итак, в первой игре команда заработала 30 очков. Теперь найдем, сколько очков команда заработала во второй игре:

$2x + 5 = 2 \cdot 30 + 5 = 60 + 5 = 65$

Во второй игре команда заработала 65 очков. Проверим, что общая сумма очков равна 95: $30 + 65 = 95$. Условие выполняется.

Ответ: в первой игре команда заработала 30 очков, а во второй — 65 очков.

б) Пусть в работе было $a$ заданий по алгебре и $g$ заданий по геометрии. Исходя из условий задачи, составим систему из двух линейных уравнений.

1. Если каждое задание по алгебре оценивать в 2 балла, а по геометрии — в 3 балла, то максимальное число баллов равно 38. Это можно записать в виде уравнения:

$2a + 3g = 38$

2. Если каждое задание по алгебре оценивать в 3 балла, а по геометрии — в 2 балла, то максимальное число баллов равно 37. Это можно записать в виде второго уравнения:

$3a + 2g = 37$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 2a + 3g = 38 \\ 3a + 2g = 37 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Сложим оба уравнения:

$(2a + 3g) + (3a + 2g) = 38 + 37$

$5a + 5g = 75$

Разделим обе части уравнения на 5:

$a + g = 15$

Сумма $a + g$ представляет собой общее количество заданий в работе. Таким образом, мы уже нашли ответ.

Можно также найти количество заданий по каждому предмету. Выразим $a$ из полученного уравнения: $a = 15 - g$. Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:

$2(15 - g) + 3g = 38$

$30 - 2g + 3g = 38$

$g = 38 - 30$

$g = 8$

В работе было 8 заданий по геометрии. Теперь найдем количество заданий по алгебре:

$a = 15 - g = 15 - 8 = 7$

В работе было 7 заданий по алгебре. Общее количество заданий: $7 + 8 = 15$.

Ответ: работа содержит 15 заданий.