Номер 721, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 4. Системы уравнений - номер 721, страница 219.

Условие.

721 Шесть станций на железнодорожной ветке расположены в следующем порядке: Абрамцево, Белово, Виноградово, Грибово, Дорохово, Ельники. Расстояние от первой до последней станции 70 км. Расстояние между Абрамцево и Белово в 2 раза больше, чем между Белово и Виноградово; расстояние между Грибово и Дорохово в 1,5 раза больше, чем между Белово и Виноградово, и на 2 км меньше, чем между Виноградово и Грибово. Расстояние между Виноградово и Дорохово в 4 раза больше, чем между Дорохово и Ельники. Чему равно расстояние от Абрамцево до Виноградово?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем переменные, обозначающие расстояния между станциями. Обозначим станции первыми буквами их названий: А (Абрамцево), Б (Белово), В (Виноградово), Г (Грибово), Д (Дорохово), Е (Ельники).

Пусть расстояние между станциями Белово и Виноградово равно $x$ км. Тогда расстояние $Р(Б, В) = x$.

Исходя из условий задачи, выразим все остальные расстояния между соседними станциями через $x$:

• Расстояние между Абрамцево и Белово $Р(А, Б)$ в 2 раза больше, чем между Белово и Виноградово, следовательно: $Р(А, Б) = 2 \cdot Р(Б, В) = 2x$.
• Расстояние между Грибово и Дорохово $Р(Г, Д)$ в 1,5 раза больше, чем между Белово и Виноградово, следовательно: $Р(Г, Д) = 1,5 \cdot Р(Б, В) = 1,5x$.
• Расстояние $Р(Г, Д)$ на 2 км меньше, чем расстояние между Виноградово и Грибово $Р(В, Г)$. Это значит, что $Р(В, Г)$ на 2 км больше, чем $Р(Г, Д)$: $Р(В, Г) = Р(Г, Д) + 2 = 1,5x + 2$.
• Расстояние между Виноградово и Дорохово $Р(В, Д)$ в 4 раза больше, чем между Дорохово и Ельники $Р(Д, Е)$. Сначала найдем $Р(В, Д)$, которое состоит из двух участков: $Р(В, Г)$ и $Р(Г, Д)$.
  $Р(В, Д) = Р(В, Г) + Р(Г, Д) = (1,5x + 2) + 1,5x = 3x + 2$.
  Теперь можем найти $Р(Д, Е)$:
  $Р(Д, Е) = \frac{Р(В, Д)}{4} = \frac{3x + 2}{4}$.

Общее расстояние от первой до последней станции (от Абрамцево до Ельники) равно 70 км. Оно складывается из всех промежуточных участков:

$Р(А, Б) + Р(Б, В) + Р(В, Г) + Р(Г, Д) + Р(Д, Е) = 70$

Подставим в это уравнение выражения, которые мы получили:

$2x + x + (1,5x + 2) + 1,5x + \frac{3x + 2}{4} = 70$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала сгруппируем подобные слагаемые в левой части:

$(2x + x + 1,5x + 1,5x) + 2 + \frac{3x + 2}{4} = 70$

$6x + 2 + \frac{3x + 2}{4} = 70$

Перенесем 2 в правую часть:

$6x + \frac{3x + 2}{4} = 68$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 4:

$4 \cdot (6x) + 4 \cdot \left(\frac{3x + 2}{4}\right) = 68 \cdot 4$

$24x + 3x + 2 = 272$

$27x + 2 = 272$

$27x = 270$

$x = \frac{270}{27} = 10$

Мы нашли, что расстояние между Белово и Виноградово равно 10 км.

Главный вопрос задачи — найти расстояние от Абрамцево до Виноградово, то есть $Р(А, В)$. Это расстояние равно сумме расстояний $Р(А, Б)$ и $Р(Б, В)$.

$Р(А, В) = Р(А, Б) + Р(Б, В)$

Мы знаем, что $Р(Б, В) = x = 10$ км.

Рассчитаем $Р(А, Б) = 2x = 2 \cdot 10 = 20$ км.

Теперь найдем искомое расстояние:

$Р(А, В) = 20 \text{ км} + 10 \text{ км} = 30 \text{ км}$.

Ответ: расстояние от Абрамцево до Виноградово равно 30 км.