Страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

717 В таблице показано содержание белков и жиров в одной порции мяса и хлеба:

Продукты | Мясо | Хлеб

Белки, г | 16 | 2

Жиры, г | 11 | 1

Сколько порций мяса и хлеба надо съесть за один приём пищи, чтобы получить 26 г белков и 17,5 г жиров?

Для решения этой задачи необходимо составить систему уравнений. Обозначим количество порций мяса за $x$, а количество порций хлеба — за $y$.

Согласно данным из таблицы, в одной порции мяса содержится 16 г белков и 11 г жиров, а в одной порции хлеба — 2 г белков и 1 г жиров.

Составим уравнение для общего количества белков. Суммарное количество белков из $x$ порций мяса и $y$ порций хлеба должно равняться 26 г:
$16x + 2y = 26$

Аналогично составим уравнение для общего количества жиров. Суммарное количество жиров из $x$ порций мяса и $y$ порций хлеба должно равняться 17,5 г:
$11x + y = 17,5$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} 16x + 2y = 26 \\ 11x + y = 17,5 \end{cases}$

Для упрощения решения разделим обе части первого уравнения на 2:
$8x + y = 13$

Теперь система выглядит следующим образом:
$\begin{cases} 8x + y = 13 \\ 11x + y = 17,5 \end{cases}$

Решим систему методом вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:
$(11x + y) - (8x + y) = 17,5 - 13$
$3x = 4,5$
$x = \frac{4,5}{3}$
$x = 1,5$

Мы нашли количество порций мяса. Теперь найдем количество порций хлеба, подставив значение $x$ в любое из уравнений системы. Возьмем уравнение $8x + y = 13$:
$8 \cdot 1,5 + y = 13$
$12 + y = 13$
$y = 13 - 12$
$y = 1$

Таким образом, чтобы получить 26 г белков и 17,5 г жиров, нужно съесть 1,5 порции мяса и 1 порцию хлеба.

Проверка:
Белки: $1,5 \cdot 16 + 1 \cdot 2 = 24 + 2 = 26$ г.
Жиры: $1,5 \cdot 11 + 1 \cdot 1 = 16,5 + 1 = 17,5$ г.
Расчеты верны.

Ответ: нужно съесть 1,5 порции мяса и 1 порцию хлеба.

718 Сколько граммов арахиса по цене 12,5 р. за 100 г и сколько граммов лесных орехов по цене 30 р. за 100 г надо смешать, чтобы получить 700 г смеси по цене 20 р. за 100 г?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это масса арахиса в граммах, а $y$ — масса лесных орехов в граммах, которые необходимо взять для приготовления смеси.

Согласно условию, общая масса смеси должна быть 700 г. Это позволяет нам составить первое уравнение:

$x + y = 700$

Далее, составим уравнение на основе стоимости компонентов и смеси. Для этого сначала определим цену за 1 грамм каждого продукта:

• Цена арахиса: $12,5 \text{ р. за } 100 \text{ г} = 12,5 / 100 = 0,125$ р. за 1 г.
• Цена лесных орехов: $30 \text{ р. за } 100 \text{ г} = 30 / 100 = 0,3$ р. за 1 г.
• Цена смеси: $20 \text{ р. за } 100 \text{ г} = 20 / 100 = 0,2$ р. за 1 г.

Общая стоимость смеси складывается из стоимости ее компонентов. Стоимость $x$ граммов арахиса составляет $0,125x$ рублей. Стоимость $y$ граммов лесных орехов составляет $0,3y$ рублей. Стоимость 700 граммов готовой смеси составляет $700 \cdot 0,2 = 140$ рублей. Составим второе уравнение, приравняв сумму стоимостей компонентов к стоимости смеси:

$0,125x + 0,3y = 140$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 700 \\ 0,125x + 0,3y = 140 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 700 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$0,125(700 - y) + 0,3y = 140$

Раскроем скобки и найдем значение $y$:

$87,5 - 0,125y + 0,3y = 140$

$0,175y = 140 - 87,5$

$0,175y = 52,5$

$y = \frac{52,5}{0,175} = 300$

Таким образом, масса лесных орехов составляет 300 г.

Теперь найдем массу арахиса, подставив найденное значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 700 - 300 = 400$

Следовательно, масса арахиса составляет 400 г.

Ответ: нужно смешать 400 г арахиса и 300 г лесных орехов.

Решите задачу (719–722).

719 Отцу, матери и сыну вместе 70 лет. Отец старше матери на 5 лет, а мать старше сына на 25 лет. Сколько лет каждому?

719

Для решения этой задачи воспользуемся методом составления уравнения. Давайте выразим возраст каждого члена семьи через возраст одного из них, например, через возраст сына.

Пусть $x$ — это возраст сына в годах.

Согласно условию, мать старше сына на 25 лет. Следовательно, возраст матери можно выразить как:

$x + 25$ лет.

Также из условия известно, что отец старше матери на 5 лет. Значит, возраст отца можно выразить через возраст матери:

$(x + 25) + 5 = x + 30$ лет.

Общая сумма возрастов отца, матери и сына составляет 70 лет. Мы можем составить уравнение, сложив выражения для возрастов всех троих:

Возраст сына + Возраст матери + Возраст отца = 70

$x + (x + 25) + (x + 30) = 70$

Теперь решим полученное уравнение:

1. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$x + x + 25 + x + 30 = 70$

$3x + 55 = 70$

2. Перенесем число 55 в правую часть уравнения, изменив его знак:

$3x = 70 - 55$

$3x = 15$

3. Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{15}{3}$

$x = 5$

Таким образом, мы нашли, что сыну 5 лет.

Теперь, зная возраст сына, можем найти возраст матери и отца:

• Возраст матери: $x + 25 = 5 + 25 = 30$ лет.
• Возраст отца: $x + 30 = 5 + 30 = 35$ лет.

Проверим, соответствует ли сумма найденных возрастов условию задачи:

$5 + 30 + 35 = 70$

Сумма равна 70, что соответствует условию. Все верно.

Ответ: сыну 5 лет, матери 30 лет, отцу 35 лет.

720 Три сосуда вместе имеют вместимость, равную 80 л. Если первый сосуд наполнить водой и затем перелить её в два других сосуда, то либо второй сосуд наполнится доверху, а третий — на $\frac{3}{5}$, либо третий сосуд наполнится доверху, а второй — на $\frac{1}{2}$.

Найдите вместимость каждого сосуда.

Обозначим вместимость первого, второго и третьего сосудов как $V_1$, $V_2$ и $V_3$ соответственно. Все объемы измеряются в литрах.

Согласно условию задачи, общая вместимость трех сосудов составляет 80 литров. Это можно записать в виде уравнения:

$V_1 + V_2 + V_3 = 80$

Далее, первый сосуд наполняют водой (объем воды равен $V_1$) и переливают эту воду в два других сосуда. Возможны два исхода:

1. Второй сосуд наполняется полностью, а третий — на $\frac{3}{5}$ своего объема. Это означает, что объем воды из первого сосуда равен сумме полного объема второго сосуда и $\frac{3}{5}$ объема третьего:

$V_1 = V_2 + \frac{3}{5}V_3$

2. Третий сосуд наполняется полностью, а второй — на $\frac{1}{2}$ своего объема. Это означает, что объем воды из первого сосуда равен сумме полного объема третьего сосуда и $\frac{1}{2}$ объема второго:

$V_1 = V_3 + \frac{1}{2}V_2$

Мы получили систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

$V_1 + V_2 + V_3 = 80$ (1)
$V_1 = V_2 + \frac{3}{5}V_3$ (2)
$V_1 = V_3 + \frac{1}{2}V_2$ (3)

Поскольку левые части уравнений (2) и (3) равны, мы можем приравнять их правые части, чтобы найти соотношение между $V_2$ и $V_3$:

$V_2 + \frac{3}{5}V_3 = V_3 + \frac{1}{2}V_2$

Перенесем слагаемые с $V_2$ в левую часть, а с $V_3$ — в правую:

$V_2 - \frac{1}{2}V_2 = V_3 - \frac{3}{5}V_3$

Выполним вычитание:

$\frac{1}{2}V_2 = \frac{2}{5}V_3$

Теперь выразим $V_2$ через $V_3$, умножив обе части на 2:

$V_2 = 2 \cdot \frac{2}{5}V_3 = \frac{4}{5}V_3$

Теперь подставим полученное выражение для $V_2$ в уравнение (3), чтобы выразить $V_1$ через $V_3$:

$V_1 = V_3 + \frac{1}{2}V_2 = V_3 + \frac{1}{2}\left(\frac{4}{5}V_3\right) = V_3 + \frac{2}{5}V_3 = \frac{5}{5}V_3 + \frac{2}{5}V_3 = \frac{7}{5}V_3$

Теперь у нас есть выражения для $V_1$ и $V_2$, зависящие только от $V_3$. Подставим их в первое уравнение системы (1):

$V_1 + V_2 + V_3 = 80$

$\frac{7}{5}V_3 + \frac{4}{5}V_3 + V_3 = 80$

Сложим все слагаемые в левой части:

$\frac{7V_3 + 4V_3 + 5V_3}{5} = 80$

$\frac{16V_3}{5} = 80$

Найдем $V_3$:

$V_3 = \frac{80 \cdot 5}{16} = 5 \cdot 5 = 25$

Итак, вместимость третьего сосуда равна 25 литрам.

Теперь, зная $V_3$, найдем вместимость второго сосуда:

$V_2 = \frac{4}{5}V_3 = \frac{4}{5} \cdot 25 = 4 \cdot 5 = 20$

Вместимость второго сосуда равна 20 литрам.

И, наконец, найдем вместимость первого сосуда:

$V_1 = \frac{7}{5}V_3 = \frac{7}{5} \cdot 25 = 7 \cdot 5 = 35$

Вместимость первого сосуда равна 35 литрам.

Проверим, что сумма объемов равна 80 л: $35 + 20 + 25 = 80$ л. Условие выполняется.

Ответ: вместимость первого сосуда — 35 л, второго — 20 л, третьего — 25 л.

721 Шесть станций на железнодорожной ветке расположены в следующем порядке: Абрамцево, Белово, Виноградово, Грибово, Дорохово, Ельники. Расстояние от первой до последней станции 70 км. Расстояние между Абрамцево и Белово в 2 раза больше, чем между Белово и Виноградово; расстояние между Грибово и Дорохово в 1,5 раза больше, чем между Белово и Виноградово, и на 2 км меньше, чем между Виноградово и Грибово. Расстояние между Виноградово и Дорохово в 4 раза больше, чем между Дорохово и Ельники. Чему равно расстояние от Абрамцево до Виноградово?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие расстояния между станциями. Обозначим станции первыми буквами их названий: А (Абрамцево), Б (Белово), В (Виноградово), Г (Грибово), Д (Дорохово), Е (Ельники).

Пусть расстояние между станциями Белово и Виноградово равно $x$ км. Тогда расстояние $Р(Б, В) = x$.

Исходя из условий задачи, выразим все остальные расстояния между соседними станциями через $x$:

• Расстояние между Абрамцево и Белово $Р(А, Б)$ в 2 раза больше, чем между Белово и Виноградово, следовательно: $Р(А, Б) = 2 \cdot Р(Б, В) = 2x$.
• Расстояние между Грибово и Дорохово $Р(Г, Д)$ в 1,5 раза больше, чем между Белово и Виноградово, следовательно: $Р(Г, Д) = 1,5 \cdot Р(Б, В) = 1,5x$.
• Расстояние $Р(Г, Д)$ на 2 км меньше, чем расстояние между Виноградово и Грибово $Р(В, Г)$. Это значит, что $Р(В, Г)$ на 2 км больше, чем $Р(Г, Д)$: $Р(В, Г) = Р(Г, Д) + 2 = 1,5x + 2$.
• Расстояние между Виноградово и Дорохово $Р(В, Д)$ в 4 раза больше, чем между Дорохово и Ельники $Р(Д, Е)$. Сначала найдем $Р(В, Д)$, которое состоит из двух участков: $Р(В, Г)$ и $Р(Г, Д)$.
  $Р(В, Д) = Р(В, Г) + Р(Г, Д) = (1,5x + 2) + 1,5x = 3x + 2$.
  Теперь можем найти $Р(Д, Е)$:
  $Р(Д, Е) = \frac{Р(В, Д)}{4} = \frac{3x + 2}{4}$.

Общее расстояние от первой до последней станции (от Абрамцево до Ельники) равно 70 км. Оно складывается из всех промежуточных участков:

$Р(А, Б) + Р(Б, В) + Р(В, Г) + Р(Г, Д) + Р(Д, Е) = 70$

Подставим в это уравнение выражения, которые мы получили:

$2x + x + (1,5x + 2) + 1,5x + \frac{3x + 2}{4} = 70$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала сгруппируем подобные слагаемые в левой части:

$(2x + x + 1,5x + 1,5x) + 2 + \frac{3x + 2}{4} = 70$

$6x + 2 + \frac{3x + 2}{4} = 70$

Перенесем 2 в правую часть:

$6x + \frac{3x + 2}{4} = 68$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 4:

$4 \cdot (6x) + 4 \cdot \left(\frac{3x + 2}{4}\right) = 68 \cdot 4$

$24x + 3x + 2 = 272$

$27x + 2 = 272$

$27x = 270$

$x = \frac{270}{27} = 10$

Мы нашли, что расстояние между Белово и Виноградово равно 10 км.

Главный вопрос задачи — найти расстояние от Абрамцево до Виноградово, то есть $Р(А, В)$. Это расстояние равно сумме расстояний $Р(А, Б)$ и $Р(Б, В)$.

$Р(А, В) = Р(А, Б) + Р(Б, В)$

Мы знаем, что $Р(Б, В) = x = 10$ км.

Рассчитаем $Р(А, Б) = 2x = 2 \cdot 10 = 20$ км.

Теперь найдем искомое расстояние:

$Р(А, В) = 20 \text{ км} + 10 \text{ км} = 30 \text{ км}$.

Ответ: расстояние от Абрамцево до Виноградово равно 30 км.

722 За 3 майки, 2 пары шорт и 4 пары кроссовок заплатили 2650 р., а за 2 майки, 3 пары шорт и пару кроссовок заплатили 1350 р. Сколько стоит комплект из майки, одной пары шорт и одной пары кроссовок?

Для решения задачи введем переменные. Пусть:
- $x$ — стоимость одной майки (в рублях),
- $y$ — стоимость одной пары шорт (в рублях),
- $z$ — стоимость одной пары кроссовок (в рублях).

Согласно условию, за 3 майки, 2 пары шорт и 4 пары кроссовок заплатили 2650 рублей. Это можно выразить следующим уравнением:
$3x + 2y + 4z = 2650$

Также известно, что за 2 майки, 3 пары шорт и одну пару кроссовок заплатили 1350 рублей. Составим второе уравнение:
$2x + 3y + z = 1350$

Нам необходимо найти стоимость комплекта, состоящего из одной майки, одной пары шорт и одной пары кроссовок, то есть сумму $x + y + z$.

Чтобы найти эту сумму, сложим левые и правые части обоих уравнений:
$(3x + 2y + 4z) + (2x + 3y + z) = 2650 + 1350$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(3x + 2x) + (2y + 3y) + (4z + z) = 4000$
$5x + 5y + 5z = 4000$

Вынесем общий множитель 5 за скобки:
$5(x + y + z) = 4000$

Теперь, чтобы найти значение выражения $x + y + z$, разделим обе части уравнения на 5:
$x + y + z = \frac{4000}{5}$
$x + y + z = 800$

Таким образом, стоимость комплекта из майки, одной пары шорт и одной пары кроссовок составляет 800 рублей.

Ответ: 800 р.