Страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

700 Закрасьте часть координатной плоскости, которая расположена ниже каждой из прямых $x + 3y = 16$ и $2x + y = 12$, ограничена горизонталями $y = 0$ и $y = 5$, а также вертикалями $x = 0$ и $x = 5$. Задайте это множество точек плоскости системой неравенств.

Задайте это множество точек плоскости системой неравенств.

Для определения множества точек на плоскости переведем каждое условие из текста задачи в математическое неравенство.
1. Условие, что область расположена "ниже каждой из прямых $x+3y=16$ и $2x+y=12$", означает, что координаты точек $(x, y)$ должны удовлетворять неравенствам $x+3y \le 16$ и $2x+y \le 12$. Знак "меньше или равно" используется, так как точки на самих прямых включаются в область.
2. Условие, что область "ограничена горизонталями $y=0$ и $y=5$", задает ограничения для координаты $y$: $0 \le y \le 5$.
3. Условие, что область "ограничена ... вертикалями $x=0$ и $x=5$", задает ограничения для координаты $x$: $0 \le x \le 5$.
Объединив все эти условия, получаем искомую систему неравенств.

Закрасьте часть координатной плоскости.

Чтобы закрасить искомую часть плоскости, необходимо построить на координатной плоскости область, соответствующую найденной системе неравенств. Эта область является многоугольником, ограниченным линиями, которые соответствуют равенствам в системе.
1. Построение границ. Начертим на координатной плоскости прямые: $x=0$, $x=5$, $y=0$, $y=5$, $x+3y=16$ и $2x+y=12$.
2. Определение вершин многоугольника. Вершины искомой области — это точки пересечения граничных линий, которые удовлетворяют всем неравенствам системы. Найдем координаты этих вершин:
- Пересечение $x=0$ и $y=0$: точка $(0,0)$.
- Пересечение $y=0$ и $x=5$: точка $(5,0)$.
- Пересечение $x=5$ и $2x+y=12$: подставив $x=5$ в уравнение, получаем $2(5)+y=12$, откуда $y=2$. Точка $(5,2)$.
- Пересечение $2x+y=12$ и $x+3y=16$: решаем систему уравнений. Из первого уравнения $y=12-2x$. Подставляем во второе: $x+3(12-2x)=16 \implies x+36-6x=16 \implies -5x = -20 \implies x=4$. Тогда $y=12-2(4)=4$. Точка $(4,4)$.
- Пересечение $x+3y=16$ и $y=5$: подставив $y=5$, получаем $x+3(5)=16$, откуда $x=1$. Точка $(1,5)$.
- Пересечение $y=5$ и $x=0$: точка $(0,5)$.
3. Закрашивание области. Искомая область — это выпуклый шестиугольник с вершинами в найденных точках. Необходимо закрасить область внутри этого шестиугольника.

Ответ: Искомое множество точек задается системой неравенств:$$\begin{cases}0 \le x \le 5 \\0 \le y \le 5 \\x+3y \le 16 \\2x+y \le 12\end{cases}$$Графически эта область представляет собой шестиугольник с вершинами в точках $(0,0)$, $(5,0)$, $(5,2)$, $(4,4)$, $(1,5)$ и $(0,5)$.

701 Какое множество точек координатной плоскости задается условием:

а) $x^2 + y^2 \leq 1$;

б) $x^2 + y^2 \geq 9$;

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 \geq 1 \\ x^2 + y^2 < 9 \end{cases}$?

а) Уравнение вида $x^2 + y^2 = R^2$ задает на координатной плоскости окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$.
В данном случае неравенство $x^2 + y^2 \le 1$ можно сравнить с уравнением окружности $x^2 + y^2 = 1^2$, где радиус $R = 1$.
Неравенство означает, что квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до начала координат меньше или равен 1. Это условие выполняется для всех точек, находящихся внутри окружности радиусом 1 с центром в начале координат, а также для точек, лежащих на самой этой окружности. Такая фигура называется замкнутым кругом.
Ответ: Замкнутый круг с центром в начале координат и радиусом 1.

б) Рассматриваем неравенство $x^2 + y^2 \ge 9$. Границей этого множества является окружность, заданная уравнением $x^2 + y^2 = 9$, или $x^2 + y^2 = 3^2$. Это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 3$.
Неравенство означает, что квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до начала координат больше или равен 9. Этому условию удовлетворяют все точки, лежащие на самой окружности радиусом 3, а также все точки, находящиеся вне этой окружности.
Ответ: Множество точек плоскости, расположенных на окружности с центром в начале координат и радиусом 3 или вне ее.

в) Данное условие представляет собой систему двух неравенств: $ \begin{cases} x^2 + y^2 \ge 1 \\ x^2 + y^2 \le 9 \end{cases} $. Это означает, что координаты точки $(x, y)$ должны удовлетворять обоим неравенствам одновременно.
Первое неравенство $x^2 + y^2 \ge 1$ задает множество точек, лежащих на окружности радиусом $R_1 = \sqrt{1} = 1$ с центром в начале координат или вне ее.
Второе неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает замкнутый круг с центром в начале координат и радиусом $R_2 = \sqrt{9} = 3$.
Пересечение этих двух множеств — это все точки, которые находятся не дальше чем на 3 единицы от начала координат, но при этом не ближе чем на 1 единицу. Геометрически это фигура, ограниченная двумя концентрическими окружностями. Такая фигура называется кольцом. Поскольку оба неравенства нестрогие, границы (сами окружности) включаются в искомое множество.
Ответ: Кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат и радиусами 1 и 3, включая сами окружности.

702 Задайте системой неравенств множество точек координатной плоскости, изображённое на рисунках 4.40—4.43.

Рис. 4.40

$x^2 \le y \le 4$

Рис. 4.41

$x^2 \le y \le 2x$

Рис. 4.42

$0 \le y \le 2 - |x|$

Рис. 4.43

$x^2 + y^2 \le 4$

$-1 \le x \le 1$

Рис. 4.40

Заштрихованная на рисунке область представляет собой множество точек, ограниченное снизу и сверху.
Нижней границей является парабола, заданная уравнением $y = x^2$. Поскольку заштрихованная область находится над параболой (включая саму параболу, так как линия сплошная), координаты ее точек $(x, y)$ удовлетворяют неравенству $y \ge x^2$.
Верхней границей является горизонтальная прямая, заданная уравнением $y = 4$. Область находится под этой прямой (включая саму прямую), следовательно, координаты ее точек удовлетворяют неравенству $y \le 4$.
Для описания всей области необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно, что приводит к системе неравенств.

Ответ: $$ \begin{cases} y \ge x^2 \\ y \le 4 \end{cases} $$

Рис. 4.41

Заштрихованная область ограничена параболой и прямой линией.
Снизу область ограничена параболой $y = x^2$. Так как область лежит выше параболы и включает ее границу, выполняется неравенство $y \ge x^2$.
Сверху область ограничена прямой, которая проходит через точки $(0, 0)$ и $(2, 4)$. Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y = kx$. Подставив координаты точки $(2, 4)$, находим коэффициент наклона $k$: $4 = k \cdot 2$, откуда $k=2$. Таким образом, уравнение прямой — $y = 2x$. Область лежит ниже этой прямой, включая границу, поэтому выполняется неравенство $y \le 2x$.
Объединяя эти условия, получаем систему неравенств.

Ответ: $$ \begin{cases} y \ge x^2 \\ y \le 2x \end{cases} $$

Рис. 4.42

Заштрихованная область представляет собой треугольник, ограниченный тремя прямыми. Каждая сторона треугольника задает одно неравенство.
1. Нижняя сторона треугольника лежит на оси абсцисс, уравнение которой $y=0$. Область расположена выше этой оси, поэтому $y \ge 0$.
2. Правая верхняя сторона — это отрезок прямой, проходящей через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$. Уравнение этой прямой $y = -x + 2$. Область лежит ниже этой прямой, следовательно, $y \le -x + 2$.
3. Левая верхняя сторона — это отрезок прямой, проходящей через точки $(-2, 0)$ и $(0, 2)$. Уравнение этой прямой $y = x + 2$. Область лежит ниже этой прямой, следовательно, $y \le x + 2$.
Все границы сплошные, поэтому все неравенства нестрогие. Совокупность этих трех условий задает искомую область.

Ответ: $$ \begin{cases} y \ge 0 \\ y \le -x + 2 \\ y \le x + 2 \end{cases} $$

Рис. 4.43

Заштрихованная область состоит из двух сегментов, находящихся внутри окружности.
Внешней границей для обеих частей является окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r=2$. Уравнение этой окружности $x^2 + y^2 = 4$. Поскольку область находится внутри окружности и включает ее границу, выполняется неравенство $x^2 + y^2 \le 4$.
Внутренние границы области — это две вертикальные прямые $x = -1$ и $x = 1$. Заштрихованная область находится слева от прямой $x = -1$ (то есть $x \le -1$) и справа от прямой $x = 1$ (то есть $x \ge 1$). Эти два условия можно объединить в одно с помощью модуля: $|x| \ge 1$. Это неравенство описывает все точки, не входящие в вертикальную полосу $-1 < x < 1$.
Таким образом, искомое множество точек задается системой двух неравенств.

Ответ: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4 \\ |x| \ge 1 \end{cases} $$