Страница 220 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

723 В таблице представлены данные о результативности трёх ведущих игроков баскетбольной команды ЦСКА в чемпионате 2011 г.

Фамилия игрока | Сыграно матчей | Броски/попадания

| | 2-очковые | 3-очковые | штрафные (1 очко)

Н. Крстич | 7 | $\frac{70}{42}$ | $\frac{0}{0}$ | $\frac{37}{27}$

А. Кириленко | 5 | $\frac{23}{13}$ | $\frac{10}{6}$ | $\frac{31}{25}$

А. Швед | 7 | $\frac{44}{21}$ | $\frac{14}{7}$ | $\frac{19}{17}$

Для каждого игрока вычислите следующие показатели:

a) частоту попадания в кольцо;

б) частоту попадания в кольцо со штрафного броска;

в) среднее число бросков в одном матче;

г) среднее число очков, набранных в одном матче.

Сравните результативность игроков по каждому из этих показателей.

Н. Крстич

а) частоту попадания в кольцо;
Этот показатель (процент попаданий с игры) рассчитывается как отношение суммы всех забитых 2-очковых и 3-очковых бросков к общей сумме всех выполненных 2-очковых и 3-очковых бросков.
Общее число бросков с игры: $70$ (2-очковые) $+ 0$ (3-очковые) $= 70$.
Общее число попаданий с игры: $42$ (2-очковые) $+ 0$ (3-очковые) $= 42$.
Частота попадания: $42 / 70 = 0,6$.
Ответ: 0,6.

б) частоту попадания в кольцо со штрафного броска;
Этот показатель рассчитывается как отношение числа забитых штрафных бросков к общему числу выполненных штрафных бросков.
Число выполненных штрафных: $37$.
Число попаданий со штрафных: $27$.
Частота попадания: $27 / 37 \approx 0,730$.
Ответ: $\approx 0,730$.

в) среднее число бросков в одном матче;
Этот показатель рассчитывается как отношение общего числа всех бросков (2-очковые, 3-очковые и штрафные) к количеству сыгранных матчей.
Общее число бросков: $70 + 0 + 37 = 107$.
Количество матчей: $7$.
Среднее число бросков: $107 / 7 \approx 15,286$.
Ответ: $\approx 15,286$.

г) среднее число очков, набранных в одном матче.
Этот показатель рассчитывается как отношение общего числа набранных очков к количеству сыгранных матчей.
Общее число очков: $(42 \times 2) + (0 \times 3) + (27 \times 1) = 84 + 0 + 27 = 111$.
Количество матчей: $7$.
Среднее число очков: $111 / 7 \approx 15,857$.
Ответ: $\approx 15,857$.

А. Кириленко

а) частоту попадания в кольцо;
Частота попадания: $(13 + 6) / (23 + 10) = 19 / 33 \approx 0,576$.
Ответ: $\approx 0,576$.

б) частоту попадания в кольцо со штрафного броска;
Частота попадания: $25 / 31 \approx 0,806$.
Ответ: $\approx 0,806$.

в) среднее число бросков в одном матче;
Среднее число бросков: $(23 + 10 + 31) / 5 = 64 / 5 = 12,8$.
Ответ: 12,8.

г) среднее число очков, набранных в одном матче.
Среднее число очков: $((13 \times 2) + (6 \times 3) + (25 \times 1)) / 5 = (26 + 18 + 25) / 5 = 69 / 5 = 13,8$.
Ответ: 13,8.

А. Швед

а) частоту попадания в кольцо;
Частота попадания: $(21 + 7) / (44 + 14) = 28 / 58 \approx 0,483$.
Ответ: $\approx 0,483$.

б) частоту попадания в кольцо со штрафного броска;
Частота попадания: $17 / 19 \approx 0,895$.
Ответ: $\approx 0,895$.

в) среднее число бросков в одном матче;
Среднее число бросков: $(44 + 14 + 19) / 7 = 77 / 7 = 11$.
Ответ: 11.

г) среднее число очков, набранных в одном матче.
Среднее число очков: $((21 \times 2) + (7 \times 3) + (17 \times 1)) / 7 = (42 + 21 + 17) / 7 = 80 / 7 \approx 11,429$.
Ответ: $\approx 11,429$.

Сравнение результативности игроков

а) По частоте попадания в кольцо (с игры):
Лучший показатель у Н. Крстича, который реализовывал 60% своих бросков. Худший показатель у А. Шведа.
1. Н. Крстич: 0,600
2. А. Кириленко: $\approx 0,576$
3. А. Швед: $\approx 0,483$

б) По частоте попадания со штрафного броска:
Лучшим исполнителем штрафных бросков является А. Швед с точностью почти 90%. Худший показатель у Н. Крстича.
1. А. Швед: $\approx 0,895$
2. А. Кириленко: $\approx 0,806$
3. Н. Крстич: $\approx 0,730$

в) По среднему числу бросков в одном матче:
Больше всех бросал по кольцу Н. Крстич, меньше всех - А. Швед.
1. Н. Крстич: $\approx 15,3$
2. А. Кириленко: 12,8
3. А. Швед: 11,0

г) По среднему числу очков, набранных в одном матче:
Самым результативным игроком по очкам за игру является Н. Крстич. А. Швед набирал меньше всех очков в среднем за матч.
1. Н. Крстич: $\approx 15,9$
2. А. Кириленко: 13,8
3. А. Швед: $\approx 11,4$

724 В таблице дана информация о грузах, перевезённых железнодорожным транспортом в России в 2005–2009 гг.

а) Сколько млн тонн грузов перевозилось в среднем за год в этот период?

б) В каком году был достигнут наибольший показатель, а в каком — наименьший? Насколько каждый из них отличается от среднего?

а) Чтобы найти, сколько в среднем миллионов тонн грузов перевозилось за год, необходимо сложить объемы перевозок за все годы и разделить полученную сумму на количество лет.

1. Найдем общую сумму перевезенных грузов за 5 лет (с 2005 по 2009 год):

$3486,6 + 3591,7 + 3775,6 + 3562,6 + 3121,3 = 17537,8$ млн т

2. Разделим полученную сумму на количество лет (5), чтобы найти среднее значение:

$17537,8 \div 5 = 3507,56$ млн т

Ответ: в среднем за год в этот период перевозилось 3507,56 млн тонн грузов.

б) Для ответа на этот вопрос нужно сравнить данные в таблице и найти максимальное и минимальное значения, а затем сравнить их со средним значением, вычисленным в пункте а).

1. Анализируя данные, находим:

- Наибольший показатель: 3775,6 млн т в 2007 году.

- Наименьший показатель: 3121,3 млн т в 2009 году.

2. Теперь вычислим, насколько каждый из этих показателей отличается от среднего (3507,56 млн т).

- Отличие наибольшего показателя от среднего:

$3775,6 - 3507,56 = 268,04$ млн т

- Отличие наименьшего показателя от среднего:

$3507,56 - 3121,3 = 386,26$ млн т

Ответ: наибольший показатель был достигнут в 2007 году, и он на 268,04 млн т больше среднего. Наименьший показатель был в 2009 году, и он на 386,26 млн т меньше среднего.

725 а) На концерте для первоклассников выступают 3 девочки и 4 мальчика. Сколько различных вариантов программы можно составить, если решено, что первой будет выступать девочка?

б) У второклассника Миши 3 карточки с цифрами 0, 5, 8. Сколько различных трёхзначных чисел он может из них составить?

а) Это задача на нахождение числа перестановок с ограничением. Общее количество участников концерта: $3$ девочки + $4$ мальчика = $7$ человек. Порядок их выступления важен, поэтому мы имеем дело с перестановками.

1. Выбор первого выступающего. По условию, первой должна выступать девочка. У нас есть 3 девочки, поэтому существует 3 способа выбрать первого участника.

2. Расстановка оставшихся участников. После того как первая участница (девочка) выбрана, остаются $7 - 1 = 6$ человек (2 девочки и 4 мальчика). Этих 6 человек можно расставить на оставшиеся 6 мест в программе. Количество способов сделать это равно числу перестановок из 6 элементов, что вычисляется как факториал числа 6:
$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.

3. Общее количество вариантов программы. Чтобы найти общее количество возможных вариантов программы, нужно умножить количество способов выбора первой девочки на количество способов расстановки остальных участников (согласно правилу произведения в комбинаторике).
$N = 3 \times 6! = 3 \times 720 = 2160$.

Таким образом, можно составить 2160 различных вариантов программы.

Ответ: 2160

б) Это задача на составление чисел из заданных цифр без повторения, с учетом ограничения на первую цифру. У нас есть 3 карточки с цифрами 0, 5, 8. Нужно составить из них различные трёхзначные числа.

1. Выбор первой цифры (разряд сотен). Трёхзначное число не может начинаться с нуля. Поэтому для первой цифры мы можем выбрать только 5 или 8. Следовательно, у нас есть 2 варианта.

2. Выбор второй цифры (разряд десятков). После того как первая цифра выбрана, у нас остаются две карточки. Например, если мы выбрали 5, остались 0 и 8. Если выбрали 8, остались 0 и 5. В любом случае, для второй цифры есть 2 варианта (теперь ноль использовать можно).

3. Выбор третьей цифры (разряд единиц). После выбора первых двух цифр у нас остаётся только одна карточка. Таким образом, для третьей цифры есть всего 1 вариант.

4. Общее количество чисел. Чтобы найти общее количество различных трёхзначных чисел, перемножим количество вариантов для каждой позиции:
$N = 2 \times 2 \times 1 = 4$.

Для наглядности можно перечислить все возможные числа:
Если первая цифра 5, то получаем числа 508 и 580.
Если первая цифра 8, то получаем числа 805 и 850.
Всего 4 различных числа.

Ответ: 4