Страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

703 Составьте какое-нибудь уравнение с двумя переменными, решением которого служит пара чисел:

a) $(2.5; -1)$

б) $(-1; 2.5)$

а)

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение с двумя переменными, например $x$ и $y$, которому удовлетворяет пара чисел $(2,5; -1)$. Это значит, что при подстановке $x = 2,5$ и $y = -1$ в уравнение, мы получим верное равенство.

Существует бесконечное множество таких уравнений. Самый простой способ — создать линейное уравнение вида $ax + by = c$. Для этого можно выбрать произвольные коэффициенты $a$ и $b$, а затем вычислить $c$.

Давайте выберем простые целые коэффициенты, например, $a=2$ и $b=1$. Наше уравнение будет иметь вид $2x + y = c$.

Теперь подставим заданные значения $x=2,5$ и $y=-1$ в левую часть уравнения, чтобы найти значение $c$:

$2 \cdot 2,5 + (-1) = 5 - 1 = 4$

Таким образом, $c=4$, и наше уравнение — $2x + y = 4$.

В качестве другого примера, можно было бы взять $a=1$ и $b=1$. Тогда мы бы получили $x+y = 2,5+(-1) = 1,5$. Уравнение $x+y=1,5$ также является правильным решением.

Ответ: $2x + y = 4$.

б)

Аналогично, нам нужно составить уравнение для пары чисел $(-1; 2,5)$. То есть, при $x = -1$ и $y = 2,5$ уравнение должно быть верным.

Воспользуемся тем же методом и создадим линейное уравнение. Выберем коэффициенты, например, $a=1$ и $b=2$. Уравнение будет иметь вид $x + 2y = c$.

Подставим значения $x=-1$ и $y=2,5$ для нахождения $c$:

$(-1) + 2 \cdot 2,5 = -1 + 5 = 4$

Следовательно, $c=4$, и уравнение имеет вид $x + 2y = 4$.

Можно заметить, что если бы мы выбрали $a=1$ и $b=1$, мы бы получили уравнение $x+y=1,5$, которое является решением и для пункта а), поскольку $-1+2,5=1,5$.

Ответ: $x + 2y = 4$.

704 а) При каких значениях $a$ пара чисел $(4; a)$ является решением уравнения $x^2 + y^2 = 25$?

б) При каких значениях $b$ пара чисел $(b; 4)$ является решением уравнения $2x^2 + y = 12$?

а) Чтобы пара чисел $(4; a)$ являлась решением уравнения $x^2 + y^2 = 25$, необходимо, чтобы при подстановке значений $x=4$ и $y=a$ в уравнение получалось верное равенство. Выполним подстановку и решим получившееся уравнение относительно $a$:
$4^2 + a^2 = 25$
$16 + a^2 = 25$
$a^2 = 25 - 16$
$a^2 = 9$
Из этого следует, что $a$ может принимать два значения:
$a_1 = \sqrt{9} = 3$
$a_2 = -\sqrt{9} = -3$
Таким образом, существуют два значения $a$, при которых пара чисел является решением уравнения.
Ответ: $a = \pm3$.

б) Аналогично, чтобы пара чисел $(b; 4)$ являлась решением уравнения $2x^2 + y = 12$, подставим в него значения $x=b$ и $y=4$. Решим получившееся уравнение относительно $b$:
$2b^2 + 4 = 12$
$2b^2 = 12 - 4$
$2b^2 = 8$
$b^2 = \frac{8}{2}$
$b^2 = 4$
Из этого следует, что $b$ может принимать два значения:
$b_1 = \sqrt{4} = 2$
$b_2 = -\sqrt{4} = -2$
Следовательно, существуют два значения $b$, при которых пара чисел является решением уравнения.
Ответ: $b = \pm2$.

705 а) Найдите значение c, при котором пара чисел $\left(-\frac{1}{2} ; \frac{2}{3}\right)$ является решением уравнения $2x + 3y = c$.

б) Найдите значение a, при котором пара чисел (-3; -2) является решением уравнения $ax - 4y = 2$.

а) Чтобы найти значение $c$, нужно подставить координаты данной пары чисел $(-\frac{1}{2}; \frac{2}{3})$ в уравнение $2x + 3y = c$. В этой паре $x = -\frac{1}{2}$, а $y = \frac{2}{3}$.

Подставляем значения в левую часть уравнения:

$c = 2x + 3y = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) + 3 \cdot (\frac{2}{3})$

Выполняем вычисления:

$c = -1 + 2$

$c = 1$

Таким образом, при $c=1$ пара чисел $(-\frac{1}{2}; \frac{2}{3})$ является решением уравнения.

Ответ: $c=1$.

б) Чтобы найти значение $a$, нужно подставить координаты пары чисел $(-3; -2)$ в уравнение $ax - 4y = 2$. В этой паре $x = -3$, а $y = -2$.

Подставляем значения в уравнение и решаем его относительно $a$:

$a \cdot (-3) - 4 \cdot (-2) = 2$

Выполняем умножение:

$-3a + 8 = 2$

Переносим 8 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-3a = 2 - 8$

$-3a = -6$

Находим $a$:

$a = \frac{-6}{-3}$

$a = 2$

Таким образом, при $a=2$ пара чисел $(-3; -2)$ является решением уравнения.

Ответ: $a=2$.

706 Постройте график уравнения $x + 3y = c$, где $x$ и $y$ — переменные, $c$ — некоторое число, если известно, что он проходит через точку $M(-3; 3)$.

Дано уравнение $x + 3y = c$. Это уравнение является линейным, его график — прямая линия.

По условию известно, что график этого уравнения проходит через точку $M(-3; 3)$. Это означает, что при подстановке координат этой точки в уравнение мы получим верное равенство. Используем это, чтобы найти значение $c$.

Подставим $x = -3$ и $y = 3$ в исходное уравнение:

$(-3) + 3 \cdot 3 = c$

$-3 + 9 = c$

$c = 6$

Теперь, когда мы нашли значение $c$, мы можем записать точное уравнение прямой:

$x + 3y = 6$

Для построения графика прямой на координатной плоскости достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой. Одна точка нам уже известна — это $M(-3; 3)$. Найдем еще одну точку для построения.

Для простоты найдем точку пересечения прямой с одной из координатных осей.

Найдем точку пересечения с осью $Oy$. Для любой точки на этой оси координата $x$ равна 0. Подставим $x = 0$ в наше уравнение:

$0 + 3y = 6$

$3y = 6$

$y = \frac{6}{3}$

$y = 2$

Таким образом, мы получили вторую точку с координатами $(0; 2)$.

Теперь у нас есть две точки: $M(-3; 3)$ и $(0; 2)$. Чтобы построить график, нужно отметить эти две точки на координатной плоскости и провести через них прямую линию.

Ответ: Графиком уравнения является прямая, заданная уравнением $x + 3y = 6$. Для ее построения необходимо отметить на координатной плоскости точки $(-3; 3)$ и $(0; 2)$ и провести через них прямую.

707 Постройте график уравнения:

a) $(x - 2y)(x + 2y) = 0;$

б) $(x + 5)(y - 3) = 0;$

в) $(x - 1)(x + 2) = 0;$

г) $(y + 1)(y + 4) = 0.$

708 Проходит ли через начало координат график уравн

а)

Исходное уравнение: $(x - 2y)(x + 2y) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение эквивалентно совокупности двух линейных уравнений:
1) $x - 2y = 0$
2) $x + 2y = 0$

Каждое из этих уравнений задает прямую на координатной плоскости.
Для первого уравнения $x - 2y = 0$ выразим $y$ через $x$: $2y = x$, откуда $y = \frac{1}{2}x$. Это прямая, проходящая через начало координат $(0,0)$ и, например, точку $(2,1)$.
Для второго уравнения $x + 2y = 0$ выразим $y$ через $x$: $2y = -x$, откуда $y = -\frac{1}{2}x$. Это также прямая, проходящая через начало координат $(0,0)$ и, например, точку $(2,-1)$.

Графиком исходного уравнения является объединение (совокупность) этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара прямых, заданных уравнениями $y = \frac{1}{2}x$ и $y = -\frac{1}{2}x$, пересекающихся в начале координат.

б)

Исходное уравнение: $(x + 5)(y - 3) = 0$.
Аналогично предыдущему пункту, это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
1) $x + 5 = 0$
2) $y - 3 = 0$

Первое уравнение, $x + 5 = 0$, можно переписать в виде $x = -5$. Это уравнение задает вертикальную прямую, все точки которой имеют абсциссу (координату x) равную -5. Эта прямая параллельна оси Oy.
Второе уравнение, $y - 3 = 0$, можно переписать в виде $y = 3$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, все точки которой имеют ординату (координату y) равную 3. Эта прямая параллельна оси Ox.

Графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара перпендикулярных прямых: вертикальная прямая $x = -5$ и горизонтальная прямая $y = 3$. Они пересекаются в точке $(-5, 3)$.

в)

Исходное уравнение: $(x - 1)(x + 2) = 0$.
Уравнение распадается на совокупность двух уравнений:
1) $x - 1 = 0$
2) $x + 2 = 0$

Первое уравнение дает $x = 1$. Это уравнение вертикальной прямой, параллельной оси Oy и проходящей через точку $(1, 0)$.
Второе уравнение дает $x = -2$. Это уравнение вертикальной прямой, параллельной оси Oy и проходящей через точку $(-2, 0)$.

Графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара параллельных вертикальных прямых $x = 1$ и $x = -2$.

г)

Исходное уравнение: $(y + 1)(y + 4) = 0$.
Уравнение распадается на совокупность двух уравнений:
1) $y + 1 = 0$
2) $y + 4 = 0$

Первое уравнение дает $y = -1$. Это уравнение горизонтальной прямой, параллельной оси Ox и проходящей через точку $(0, -1)$.
Второе уравнение дает $y = -4$. Это уравнение горизонтальной прямой, параллельной оси Ox и проходящей через точку $(0, -4)$.

Графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара параллельных горизонтальных прямых $y = -1$ и $y = -4$.

708 Проходит ли через начало координат график уравнения:

а) $xy - 1 = 0;$

б) $x^2 + y = 0;$

в) $3x - 6y = 2;$

г) $5x + 7y = 0?$

Для того чтобы определить, проходит ли график уравнения через начало координат, необходимо подставить в уравнение координаты начала координат, то есть точку $(0; 0)$. Если при подстановке $x=0$ и $y=0$ получается верное числовое равенство, то график проходит через начало координат. Если равенство неверное, то не проходит.

а) Проверим уравнение $xy - 1 = 0$.
Подставим $x = 0$ и $y = 0$:
$0 \cdot 0 - 1 = 0$
$0 - 1 = 0$
$-1 = 0$
Полученное равенство неверно, следовательно, график уравнения не проходит через начало координат.
Ответ: нет.

б) Проверим уравнение $x^2 + y = 0$.
Подставим $x = 0$ и $y = 0$:
$0^2 + 0 = 0$
$0 + 0 = 0$
$0 = 0$
Полученное равенство верно, следовательно, график уравнения проходит через начало координат.
Ответ: да.

в) Проверим уравнение $3x - 6y = 2$.
Подставим $x = 0$ и $y = 0$:
$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 = 2$
$0 - 0 = 2$
$0 = 2$
Полученное равенство неверно, следовательно, график уравнения не проходит через начало координат.
Ответ: нет.

г) Проверим уравнение $5x + 7y = 0$.
Подставим $x = 0$ и $y = 0$:
$5 \cdot 0 + 7 \cdot 0 = 0$
$0 + 0 = 0$
$0 = 0$
Полученное равенство верно, следовательно, график уравнения проходит через начало координат.
Ответ: да.

709 Окружность задана уравнением $x^2 + y^2 = 9$. Определите, какие из данных точек лежат на этой окружности; внутри окружности; вне окружности: $A(1; 2\sqrt{2})$, $B(-\sqrt{3}; 2)$, $C(2.5; 2)$, $D(-\sqrt{5}; -2)$, $E(-1; 2.5)$, $F(2; -\sqrt{6})$.

Уравнение окружности $x^2 + y^2 = 9$ задает окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$. Чтобы определить положение точки с координатами $(x_0, y_0)$ относительно этой окружности, необходимо подставить ее координаты в левую часть уравнения и сравнить полученное значение с квадратом радиуса, то есть с числом 9.

• Если $x_0^2 + y_0^2 = 9$, точка лежит на окружности.
• Если $x_0^2 + y_0^2 < 9$, точка лежит внутри окружности.
• Если $x_0^2 + y_0^2 > 9$, точка лежит вне окружности.

Проверим положение каждой из заданных точек.

1. Для точки A(1; $2\sqrt{2}$): $1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$. Так как $9 = 9$, точка A лежит на окружности.

2. Для точки B($-\sqrt{3}$; 2): $(-\sqrt{3})^2 + 2^2 = 3 + 4 = 7$. Так как $7 < 9$, точка B лежит внутри окружности.

3. Для точки C(2,5; 2): $(2,5)^2 + 2^2 = 6,25 + 4 = 10,25$. Так как $10,25 > 9$, точка C лежит вне окружности.

4. Для точки D($-\sqrt{5}$; -2): $(-\sqrt{5})^2 + (-2)^2 = 5 + 4 = 9$. Так как $9 = 9$, точка D лежит на окружности.

5. Для точки E(-1; 2,5): $(-1)^2 + (2,5)^2 = 1 + 6,25 = 7,25$. Так как $7,25 < 9$, точка E лежит внутри окружности.

6. Для точки F(2; $-\sqrt{6}$): $2^2 + (-\sqrt{6})^2 = 4 + 6 = 10$. Так как $10 > 9$, точка F лежит вне окружности.

Сгруппируем точки по их расположению:

лежaт на этой окружности
Это точки, для которых выполняется условие $x^2 + y^2 = 9$. Согласно нашим вычислениям, это точки A(1; $2\sqrt{2}$) и D($-\sqrt{5}$; -2).
Ответ: A, D.

внутри окружности
Это точки, для которых выполняется условие $x^2 + y^2 < 9$. Согласно нашим вычислениям, это точки B($-\sqrt{3}$; 2) и E(-1; 2,5).
Ответ: B, E.

вне окружности
Это точки, для которых выполняется условие $x^2 + y^2 > 9$. Согласно нашим вычислениям, это точки C(2,5; 2) и F(2; $-\sqrt{6}$).
Ответ: C, F.

710 a) Можно ли двухрублёвыми и пятирублёвыми монетами платить за журнал 37 р. без сдачи? Если можно, то укажите эти способы.

б) В канцелярском магазине продают простые карандаши в коробках по 8 и по 12 карандашей. Маленькая коробка стоит 70 р., а большая — 90 р. Покупателю требуется ровно 100 простых карандашей. Сколько маленьких и сколько больших коробок ему надо купить, чтобы покупка была максимально выгодной?

а) Да, можно заплатить 37 рублей двухрублёвыми и пятирублёвыми монетами без сдачи. Чтобы найти все способы, нужно решить в целых неотрицательных числах уравнение:

$2x + 5y = 37$

где $x$ — количество двухрублёвых монет, а $y$ — количество пятирублёвых монет.

Выразим $2x$ из уравнения: $2x = 37 - 5y$. Левая часть уравнения, $2x$, всегда является чётным числом. Следовательно, и правая часть, $37 - 5y$, должна быть чётной. Так как 37 — число нечётное, то для получения чётной разности необходимо, чтобы вычитаемое $5y$ также было нечётным. Произведение $5y$ будет нечётным только в том случае, если $y$ — нечётное число.

Будем перебирать возможные нечётные значения $y$, начиная с 1. Учтём, что $5y$ не может быть больше 37, поэтому $y \le 7$.

• Если $y = 1$: $2x = 37 - 5 \cdot 1 = 32$, отсюда $x = 16$. Способ 1: 16 двухрублёвых монет и 1 пятирублёвая монета.
• Если $y = 3$: $2x = 37 - 5 \cdot 3 = 22$, отсюда $x = 11$. Способ 2: 11 двухрублёвых монет и 3 пятирублёвые монеты.
• Если $y = 5$: $2x = 37 - 5 \cdot 5 = 12$, отсюда $x = 6$. Способ 3: 6 двухрублёвых монет и 5 пятирублёвых монет.
• Если $y = 7$: $2x = 37 - 5 \cdot 7 = 2$, отсюда $x = 1$. Способ 4: 1 двухрублёвая монета и 7 пятирублёвых монет.

Следующее нечётное значение $y=9$ даст $5 \cdot 9 = 45$, что больше 37, поэтому других решений нет.

Ответ: Да, можно. Существует 4 способа: 16 двухрублёвых и 1 пятирублёвая монета; 11 двухрублёвых и 3 пятирублёвые монеты; 6 двухрублёвых и 5 пятирублёвых монет; 1 двухрублёвая и 7 пятирублёвых монет.

б) Сначала найдём все возможные способы купить ровно 100 карандашей. Пусть $x$ — количество маленьких коробок (по 8 карандашей), а $y$ — количество больших коробок (по 12 карандашей). Составим уравнение:

$8x + 12y = 100$

где $x$ и $y$ — целые неотрицательные числа. Разделим обе части уравнения на их наибольший общий делитель, равный 4:

$2x + 3y = 25$

Как и в предыдущей задаче, найдём решения, перебирая возможные значения $y$. Из уравнения $2x = 25 - 3y$ следует, что $25 - 3y$ должно быть чётным и неотрицательным. Это возможно, если $y$ — нечётное число и $3y \le 25$, то есть $y \le 8$.

Возможные комбинации $(x, y)$:

• Если $y = 1$: $2x = 25 - 3 = 22 \implies x = 11$. Комбинация: 11 маленьких, 1 большая коробка.
• Если $y = 3$: $2x = 25 - 9 = 16 \implies x = 8$. Комбинация: 8 маленьких, 3 большие коробки.
• Если $y = 5$: $2x = 25 - 15 = 10 \implies x = 5$. Комбинация: 5 маленьких, 5 больших коробок.
• Если $y = 7$: $2x = 25 - 21 = 4 \implies x = 2$. Комбинация: 2 маленькие, 7 больших коробок.

Теперь определим, какая из этих комбинаций является максимально выгодной, то есть имеет наименьшую стоимость. Стоимость $C$ рассчитывается по формуле:

$C = 70x + 90y$

Рассчитаем стоимость для каждого варианта:

• Вариант 1 ($x=11, y=1$): $C = 70 \cdot 11 + 90 \cdot 1 = 770 + 90 = 860$ р.
• Вариант 2 ($x=8, y=3$): $C = 70 \cdot 8 + 90 \cdot 3 = 560 + 270 = 830$ р.
• Вариант 3 ($x=5, y=5$): $C = 70 \cdot 5 + 90 \cdot 5 = 350 + 450 = 800$ р.
• Вариант 4 ($x=2, y=7$): $C = 70 \cdot 2 + 90 \cdot 7 = 140 + 630 = 770$ р.

Сравнив стоимости, видим, что минимальная составляет 770 рублей. Она соответствует покупке 2 маленьких и 7 больших коробок.

Ответ: Чтобы покупка была максимально выгодной, нужно купить 2 маленькие и 7 больших коробок.

711 a) Найдите все точки первой четверти с целыми координатами, через которые проходит прямая $x + 2y = 9$.

б) Найдите все точки второй четверти с целыми координатами, через которые проходит прямая $2y - 3x = 15$.

а) Найдём все точки первой четверти с целыми координатами, через которые проходит прямая $x + 2y = 9$.

Точка $(x; y)$ находится в первой четверти, если её координаты положительны: $x > 0$ и $y > 0$. По условию, координаты $x$ и $y$ также должны быть целыми числами.

Выразим переменную $x$ из уравнения прямой:

$x = 9 - 2y$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть целыми числами, мы можем подставлять целые значения $y$ и находить для них целые значения $x$. Применим условия для первой четверти:

1. $y > 0$. Так как $y$ — целое, то $y \ge 1$.
2. $x > 0 \implies 9 - 2y > 0 \implies 9 > 2y \implies y < 4.5$.

Объединив условия, получаем, что $y$ должен быть целым числом в интервале $1 \le y < 4.5$. Возможные значения для $y$: $1, 2, 3, 4$.

Найдём соответствующие значения $x$ для каждого $y$:

- при $y = 1, x = 9 - 2(1) = 7$. Точка $(7; 1)$.
- при $y = 2, x = 9 - 2(2) = 5$. Точка $(5; 2)$.
- при $y = 3, x = 9 - 2(3) = 3$. Точка $(3; 3)$.
- при $y = 4, x = 9 - 2(4) = 1$. Точка $(1; 4)$.

Все четыре точки имеют целые положительные координаты и лежат на заданной прямой.

Ответ: $(1; 4), (3; 3), (5; 2), (7; 1)$.

б) Найдём все точки второй четверти с целыми координатами, через которые проходит прямая $2y - 3x = 15$.

Точка $(x; y)$ находится во второй четверти, если её абсцисса отрицательна, а ордината положительна: $x < 0$ и $y > 0$. Координаты $x$ и $y$ должны быть целыми.

Выразим переменную $y$ из уравнения прямой:

$2y = 3x + 15$

$y = \frac{3x + 15}{2}$

Для того чтобы $y$ был целым числом, числитель $(3x + 15)$ должен быть чётным. Так как 15 — нечётное число, то и слагаемое $3x$ должно быть нечётным (сумма двух нечётных чисел чётна). Произведение $3x$ будет нечётным только в том случае, если $x$ — нечётное целое число.

Применим условия для второй четверти:

1. $x < 0$.
2. $y > 0 \implies \frac{3x + 15}{2} > 0 \implies 3x + 15 > 0 \implies 3x > -15 \implies x > -5$.

Итак, нам нужно найти все нечётные целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-5 < x < 0$.

Такими числами являются $x = -1$ и $x = -3$.

Найдём соответствующие значения $y$ для каждого $x$:

- при $x = -1, y = \frac{3(-1) + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6$. Точка $(-1; 6)$.
- при $x = -3, y = \frac{3(-3) + 15}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Точка $(-3; 3)$.

Обе точки имеют целые координаты и удовлетворяют условиям второй четверти ($x < 0, y > 0$).

Ответ: $(-3; 3), (-1; 6)$.