Страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

686 Запишите уравнение прямой и постройте эту прямую, если известно, что:

а) прямая проходит через начало координат и через точку с координатами $(90; 60)$;

б) прямая пересекает ось $y$ в точке $(0; -3)$ и проходит через точку $(15; 57)$.

а) Общий вид уравнения прямой — $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения с осью $y$. По условию, прямая проходит через начало координат, то есть через точку $(0; 0)$. Подставим эти координаты в уравнение прямой: $0 = k \cdot 0 + b$, откуда следует, что $b = 0$. Таким образом, уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y = kx$. Также известно, что прямая проходит через точку с координатами $(90; 60)$. Подставим эти значения в уравнение $y = kx$, чтобы найти коэффициент $k$: $60 = k \cdot 90$ $k = \frac{60}{90} = \frac{2}{3}$ Следовательно, искомое уравнение прямой: $y = \frac{2}{3}x$.

Для построения этой прямой на координатной плоскости достаточно отметить две точки, через которые она проходит, и соединить их. У нас есть две такие точки: начало координат $(0; 0)$ и точка $(90; 60)$. Отмечаем эти точки на координатной плоскости и проводим через них прямую линию.

Ответ: $y = \frac{2}{3}x$.

б) Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Из условия известно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $(0; -3)$. Это означает, что ордината точки пересечения с осью $y$ равна $-3$, то есть $b = -3$. Уравнение прямой принимает вид $y = kx - 3$. Прямая также проходит через точку $(15; 57)$. Подставим координаты этой точки в полученное уравнение, чтобы найти угловой коэффициент $k$: $57 = k \cdot 15 - 3$ $57 + 3 = 15k$ $60 = 15k$ $k = \frac{60}{15} = 4$ Таким образом, искомое уравнение прямой: $y = 4x - 3$.

Для построения прямой необходимо отметить на координатной плоскости две точки, принадлежащие ей, и провести через них линию. У нас есть точки $(0; -3)$ и $(15; 57)$. Отмечаем их на плоскости и соединяем прямой.

Ответ: $y = 4x - 3$.

687 Запишите уравнение прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку A:

a) $3x + 4y = 12$, A $(8; -8)$;

б) $2x - 5y = 1$, A $(5; 7)$.

а) Две прямые на плоскости параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Уравнение прямой в общем виде $Ax + By + C = 0$. Любая прямая, параллельная ей, может быть записана в виде $Ax + By + C_1 = 0$, где $C_1$ — другая константа. Это означает, что коэффициенты при $x$ и $y$ у параллельных прямых одинаковы (или пропорциональны).
Данная прямая задана уравнением $3x + 4y = 12$. Следовательно, уравнение искомой прямой, которая параллельна данной, будет иметь вид $3x + 4y = C$ для некоторой константы $C$.
Чтобы найти значение $C$, мы используем тот факт, что искомая прямая проходит через точку A с координатами (8; –8). Подставим эти координаты в уравнение прямой:
$3 \cdot (8) + 4 \cdot (-8) = C$
$24 - 32 = C$
$C = -8$
Таким образом, уравнение искомой прямой: $3x + 4y = -8$.
Ответ: $3x + 4y = -8$.

б) По аналогии с предыдущим пунктом, ищем уравнение прямой в виде $2x - 5y = C$, так как она должна быть параллельна прямой $2x - 5y = 1$.
Искомая прямая проходит через точку A с координатами (5; 7). Подставим координаты этой точки в уравнение, чтобы найти константу $C$:
$2 \cdot (5) - 5 \cdot (7) = C$
$10 - 35 = C$
$C = -25$
Следовательно, уравнение искомой прямой: $2x - 5y = -25$.
Ответ: $2x - 5y = -25$.

688 Запишите уравнение прямой, которая проходит через две данные точки:

а) $A(1; 3)$, $B(5; -4)$;

б) $A(-1; -1)$, $B(4; 3)$.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, будем использовать уравнение прямой с угловым коэффициентом в виде $y = kx + b$.

Сначала необходимо вычислить угловой коэффициент $k$ по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

После нахождения $k$, мы найдем свободный член $b$, подставив в уравнение $y = kx + b$ координаты одной из данных точек (A или B).

а) A(1; 3), B(5; –4);

1. Найдем угловой коэффициент $k$. Подставим координаты точек A(1; 3) и B(5; –4) в формулу. Здесь $x_1 = 1, y_1 = 3, x_2 = 5, y_2 = -4$.

$k = \frac{-4 - 3}{5 - 1} = \frac{-7}{4}$

2. Теперь уравнение прямой имеет вид $y = -\frac{7}{4}x + b$. Для нахождения $b$, подставим в это уравнение координаты точки A(1; 3):

$3 = -\frac{7}{4} \cdot 1 + b$

$b = 3 + \frac{7}{4} = \frac{12}{4} + \frac{7}{4} = \frac{19}{4}$

3. Таким образом, искомое уравнение прямой: $y = -\frac{7}{4}x + \frac{19}{4}$.

Для проверки можно подставить в полученное уравнение координаты точки B(5; –4):

$-4 = -\frac{7}{4} \cdot 5 + \frac{19}{4} = -\frac{35}{4} + \frac{19}{4} = -\frac{16}{4} = -4$.

Так как равенство верное, уравнение найдено правильно.

Ответ: $y = -\frac{7}{4}x + \frac{19}{4}$

б) A(–1; –1), B(4; 3).

1. Найдем угловой коэффициент $k$. Подставим координаты точек A(–1; –1) и B(4; 3) в формулу. Здесь $x_1 = -1, y_1 = -1, x_2 = 4, y_2 = 3$.

$k = \frac{3 - (-1)}{4 - (-1)} = \frac{3 + 1}{4 + 1} = \frac{4}{5}$

2. Уравнение прямой теперь выглядит как $y = \frac{4}{5}x + b$. Для нахождения $b$, подставим в это уравнение координаты точки A(–1; –1):

$-1 = \frac{4}{5} \cdot (-1) + b$

$b = -1 + \frac{4}{5} = -\frac{5}{5} + \frac{4}{5} = -\frac{1}{5}$

3. Таким образом, искомое уравнение прямой: $y = \frac{4}{5}x - \frac{1}{5}$.

Для проверки можно подставить в полученное уравнение координаты точки B(4; 3):

$3 = \frac{4}{5} \cdot 4 - \frac{1}{5} = \frac{16}{5} - \frac{1}{5} = \frac{15}{5} = 3$.

Так как равенство верное, уравнение найдено правильно.

Ответ: $y = \frac{4}{5}x - \frac{1}{5}$

689 Запишите уравнения прямых, изображённых на рисунке 4.36.

а) $y = x + 1$

б) $y = -x + 2$

Рис. 4.36

а)

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (показывает наклон прямой), а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

1. Найдём коэффициент $b$. Этот коэффициент равен значению $y$ при $x=0$. Из графика видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $(0; 1)$. Следовательно, $b = 1$.

2. Найдём угловой коэффициент $k$. Коэффициент $k$ можно найти по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, используя координаты двух любых точек $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, лежащих на прямой. Выберем на графике две точки с хорошо читаемыми целочисленными координатами: точка $A(0; 1)$ и точка $B(1; 3)$.

Подставим их координаты в формулу:

$k = \frac{3 - 1}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2$

3. Запишем уравнение прямой. Теперь, зная $k = 2$ и $b = 1$, подставляем эти значения в общую формулу $y = kx + b$.

Получаем уравнение: $y = 2x + 1$.

Ответ: $y = 2x + 1$

б)

Действуем аналогично для второго графика, используя уравнение $y = kx + b$.

1. Найдём коэффициент $b$. Прямая пересекает ось $y$ в точке $(0; 2)$. Это означает, что $b = 2$.

2. Найдём угловой коэффициент $k$. Выберем две точки на этой прямой, например, точку $C(0; 2)$ и точку $D(2; 0)$.

Вычислим $k$ по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 2}{2 - 0} = \frac{-2}{2} = -1$

3. Запишем уравнение прямой. Подставим найденные значения $k = -1$ и $b = 2$ в общую формулу.

Получаем уравнение: $y = -1 \cdot x + 2$, что то же самое, что $y = -x + 2$.

Ответ: $y = -x + 2$

690 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

а) Найдите координаты точки пересечения прямых $2x + y = 2$ и $x - y = 4$ и определите, проходит ли через эту точку прямая $x + 2y = 6$.

б) Определите, проходят ли прямые $2x - 3y = 1$, $x + y = 3$ и $3x - y = 5$ через одну точку.

а)

Чтобы найти координаты точки пересечения прямых $2x + y = 2$ и $x - y = 4$, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих прямых:

$ \begin{cases} 2x + y = 2 \\ x - y = 4 \end{cases} $

Воспользуемся методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений системы:
$(2x + y) + (x - y) = 2 + 4$
$3x = 6$
$x = 2$

Подставим найденное значение $x = 2$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$2 - y = 4$
$-y = 4 - 2$
$-y = 2$
$y = -2$

Координаты точки пересечения двух данных прямых: $(2; -2)$.

Теперь определим, проходит ли через эту точку прямая $x + 2y = 6$. Для этого подставим координаты точки $(2; -2)$ в уравнение этой прямой:
$2 + 2 \cdot (-2) = 6$
$2 - 4 = 6$
$-2 = 6$

Мы получили неверное равенство. Это означает, что точка $(2; -2)$ не принадлежит прямой $x + 2y = 6$.

Ответ: координаты точки пересечения $(2; -2)$; прямая $x + 2y = 6$ не проходит через эту точку.

б)

Чтобы определить, проходят ли прямые $2x - 3y = 1$, $x + y = 3$ и $3x - y = 5$ через одну точку, нужно найти точку пересечения любых двух из этих прямых и затем проверить, удовлетворяют ли ее координаты уравнению третьей прямой.

Найдем точку пересечения прямых $2x - 3y = 1$ и $x + y = 3$. Для этого решим систему:

$ \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ x + y = 3 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 3 - y$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$2(3 - y) - 3y = 1$
$6 - 2y - 3y = 1$
$6 - 5y = 1$
$-5y = -5$
$y = 1$

Теперь найдем $x$:
$x = 3 - y = 3 - 1 = 2$

Таким образом, первые две прямые пересекаются в точке с координатами $(2; 1)$.

Проверим, принадлежит ли эта точка третьей прямой $3x - y = 5$. Подставим координаты $(2; 1)$ в ее уравнение:
$3(2) - 1 = 5$
$6 - 1 = 5$
$5 = 5$

Мы получили верное равенство. Это означает, что точка $(2; 1)$ лежит на третьей прямой. Следовательно, все три прямые проходят через одну и ту же точку.

Ответ: да, прямые проходят через одну точку.

691 При каком значении $k$ прямые $y=\frac{1}{2}x-2$, $y=-2x-12$, $y=kx$ проходят через одну точку?

Для того чтобы три прямые проходили через одну и ту же точку, координаты этой точки должны удовлетворять уравнениям всех трех прямых. Поскольку уравнения первых двух прямых не содержат неизвестных параметров, мы можем найти их точку пересечения, решив систему уравнений:

$\begin{cases} y = \frac{1}{2}x - 2 \\ y = -2x - 12\end{cases}$

Так как левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:

$\frac{1}{2}x - 2 = -2x - 12$

Теперь решим это уравнение относительно x. Перенесем все слагаемые, содержащие x, в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$\frac{1}{2}x + 2x = -12 + 2$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{1}{2}x + \frac{4}{2}x = -10$

$\frac{5}{2}x = -10$

Чтобы найти x, умножим обе части уравнения на $\frac{2}{5}$:

$x = -10 \cdot \frac{2}{5} = -4$

Теперь, зная координату x, найдем координату y, подставив значение $x = -4$ в любое из двух исходных уравнений. Используем второе уравнение:

$y = -2(-4) - 12 = 8 - 12 = -4$

Таким образом, точка пересечения первых двух прямых — это точка с координатами $(-4; -4)$.

Чтобы третья прямая $y=kx$ проходила через эту же точку, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим значения $x = -4$ и $y = -4$ в уравнение третьей прямой:

$-4 = k \cdot (-4)$

Отсюда находим значение k, разделив обе части уравнения на -4:

$k = \frac{-4}{-4} = 1$

Следовательно, при $k = 1$ все три прямые пересекаются в одной точке.

Ответ: $k=1$.