Номер 688, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.7. Задачи на координатной плоскости. Глава 4. Системы уравнений - номер 688, страница 212.

Условие.

688 Запишите уравнение прямой, которая проходит через две данные точки:

а) $A(1; 3)$, $B(5; -4)$;

б) $A(-1; -1)$, $B(4; 3)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, будем использовать уравнение прямой с угловым коэффициентом в виде $y = kx + b$.

Сначала необходимо вычислить угловой коэффициент $k$ по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

После нахождения $k$, мы найдем свободный член $b$, подставив в уравнение $y = kx + b$ координаты одной из данных точек (A или B).

а) A(1; 3), B(5; –4);

1. Найдем угловой коэффициент $k$. Подставим координаты точек A(1; 3) и B(5; –4) в формулу. Здесь $x_1 = 1, y_1 = 3, x_2 = 5, y_2 = -4$.

$k = \frac{-4 - 3}{5 - 1} = \frac{-7}{4}$

2. Теперь уравнение прямой имеет вид $y = -\frac{7}{4}x + b$. Для нахождения $b$, подставим в это уравнение координаты точки A(1; 3):

$3 = -\frac{7}{4} \cdot 1 + b$

$b = 3 + \frac{7}{4} = \frac{12}{4} + \frac{7}{4} = \frac{19}{4}$

3. Таким образом, искомое уравнение прямой: $y = -\frac{7}{4}x + \frac{19}{4}$.

Для проверки можно подставить в полученное уравнение координаты точки B(5; –4):

$-4 = -\frac{7}{4} \cdot 5 + \frac{19}{4} = -\frac{35}{4} + \frac{19}{4} = -\frac{16}{4} = -4$.

Так как равенство верное, уравнение найдено правильно.

Ответ: $y = -\frac{7}{4}x + \frac{19}{4}$

б) A(–1; –1), B(4; 3).

1. Найдем угловой коэффициент $k$. Подставим координаты точек A(–1; –1) и B(4; 3) в формулу. Здесь $x_1 = -1, y_1 = -1, x_2 = 4, y_2 = 3$.

$k = \frac{3 - (-1)}{4 - (-1)} = \frac{3 + 1}{4 + 1} = \frac{4}{5}$

2. Уравнение прямой теперь выглядит как $y = \frac{4}{5}x + b$. Для нахождения $b$, подставим в это уравнение координаты точки A(–1; –1):

$-1 = \frac{4}{5} \cdot (-1) + b$

$b = -1 + \frac{4}{5} = -\frac{5}{5} + \frac{4}{5} = -\frac{1}{5}$

3. Таким образом, искомое уравнение прямой: $y = \frac{4}{5}x - \frac{1}{5}$.

Для проверки можно подставить в полученное уравнение координаты точки B(4; 3):

$3 = \frac{4}{5} \cdot 4 - \frac{1}{5} = \frac{16}{5} - \frac{1}{5} = \frac{15}{5} = 3$.

Так как равенство верное, уравнение найдено правильно.

Ответ: $y = \frac{4}{5}x - \frac{1}{5}$