Номер 695, страница 213 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.7. Задачи на координатной плоскости. Глава 4. Системы уравнений - номер 695, страница 213.

Условие.

695 Постройте прямую $y = -\frac{1}{3}x + 1$. Постройте прямую, симметричную ей относительно:

а) оси $y$;

б) оси $x$;

в) начала координат.

В каждом случае запишите уравнение построенной прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Сначала построим исходную прямую, заданную уравнением $y = -\frac{1}{3}x + 1$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых её точек. Удобнее всего найти точки пересечения с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (OY). Для этого примем $x=0$:
$y = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 1 = 1$.
Получаем точку $(0, 1)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (OX). Для этого примем $y=0$:
$0 = -\frac{1}{3}x + 1$
$\frac{1}{3}x = 1$
$x = 3$.
Получаем точку $(3, 0)$.

Проведя прямую через точки $(0, 1)$ и $(3, 0)$, мы получим график исходной функции.

Теперь построим прямые, симметричные данной, и найдем их уравнения.

а) Симметрия относительно оси y.

При симметричном отображении относительно оси ординат (оси y), у каждой точки графика абсцисса ($x$) меняет свой знак на противоположный, а ордината ($y$) остается без изменений. То есть, точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку $(-x, y)$.

Чтобы найти уравнение новой прямой, нужно в исходном уравнении $y = -\frac{1}{3}x + 1$ заменить $x$ на $-x$:
$y = -\frac{1}{3}(-x) + 1$
$y = \frac{1}{3}x + 1$

Ответ: $y = \frac{1}{3}x + 1$.

б) Симметрия относительно оси x.

При симметричном отображении относительно оси абсцисс (оси x), у каждой точки графика ордината ($y$) меняет свой знак на противоположный, а абсцисса ($x$) остается без изменений. То есть, точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку $(x, -y)$.

Чтобы найти уравнение новой прямой, нужно в исходном уравнении $y = -\frac{1}{3}x + 1$ заменить $y$ на $-y$:
$-y = -\frac{1}{3}x + 1$
Теперь умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы выразить $y$:
$y = -(-\frac{1}{3}x + 1)$
$y = \frac{1}{3}x - 1$

Ответ: $y = \frac{1}{3}x - 1$.

в) Симметрия относительно начала координат.

При симметричном отображении относительно начала координат $(0, 0)$, у каждой точки графика и абсцисса ($x$), и ордината ($y$) меняют свои знаки на противоположные. То есть, точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку $(-x, -y)$.

Чтобы найти уравнение новой прямой, нужно в исходном уравнении $y = -\frac{1}{3}x + 1$ заменить $x$ на $-x$ и $y$ на $-y$:
$-y = -\frac{1}{3}(-x) + 1$
$-y = \frac{1}{3}x + 1$
Теперь умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы выразить $y$:
$y = -(\frac{1}{3}x + 1)$
$y = -\frac{1}{3}x - 1$

Ответ: $y = -\frac{1}{3}x - 1$.