Номер 699, страница 215 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Геометрическая интерпретация неравенств с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 699, страница 215.

Условие.

699 Постройте множество точек плоскости, которое задаётся системой неравенств:

а) $ \begin{cases} y \geq \frac{1}{3}x \\ y \leq 6 \\ y \geq 0 \end{cases} $

б) $ \begin{cases} y \geq x - 1 \\ y \leq x + 1 \end{cases} $

В) $ \begin{cases} y \geq |x| \\ y \leq 5 \end{cases} $

г) $ \begin{cases} y \geq -x + 4 \\ y \geq x - 4 \\ y \leq \frac{1}{4}x + 2 \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Рассмотрим систему из трех неравенств:

$ \begin{cases} y \ge \frac{1}{3}x \\ y \le 6 \\ y \ge 0 \end{cases} $

Каждое неравенство задает полуплоскость. Искомое множество точек является пересечением этих трех полуплоскостей.

1. Неравенство $y \ge \frac{1}{3}x$ задает множество точек, расположенных на прямой $y = \frac{1}{3}x$ и выше нее. Эта прямая проходит через начало координат $(0,0)$.

2. Неравенство $y \le 6$ задает множество точек, расположенных на горизонтальной прямой $y = 6$ и ниже нее.

3. Неравенство $y \ge 0$ задает множество точек, расположенных на оси абсцисс ($y=0$) и выше нее (верхняя полуплоскость).

Объединение условий $y \le 6$ и $y \ge 0$ дает бесконечную горизонтальную полосу, заключенную между прямыми $y=0$ и $y=6$. Эту полосу нужно пересечь с полуплоскостью $y \ge \frac{1}{3}x$.

Найдем точки пересечения граничных прямых:

• Пересечение прямых $y = \frac{1}{3}x$ и $y=0$: $\frac{1}{3}x=0 \implies x=0$. Точка пересечения $(0,0)$.
• Пересечение прямых $y = \frac{1}{3}x$ и $y=6$: $\frac{1}{3}x=6 \implies x=18$. Точка пересечения $(18,6)$.

Прямые $y=0$ и $y=6$ параллельны и не пересекаются.

Искомое множество точек представляет собой неограниченную фигуру (бесконечный трапецоид). Эта фигура ограничена справа отрезком прямой $y = \frac{1}{3}x$ с концами в точках $(0,0)$ и $(18,6)$. Сверху она ограничена лучом, выходящим из точки $(18,6)$ и идущим влево вдоль прямой $y=6$. Снизу она ограничена лучом, выходящим из точки $(0,0)$ и идущим влево вдоль оси $Ox$. Влево фигура не ограничена.

Ответ: Множество точек является бесконечным трапецоидом, ограниченным отрезком прямой $y = \frac{1}{3}x$ между точками $(0,0)$ и $(18,6)$, и лучами $y=6, x \le 18$ и $y=0, x \le 0$.

б)

Рассмотрим систему из двух неравенств:

$ \begin{cases} y \ge x - 1 \\ y \le x + 1 \end{cases} $

1. Неравенство $y \ge x - 1$ задает полуплоскость, расположенную на прямой $y = x - 1$ и выше нее. Эта прямая имеет угловой коэффициент $1$ и пересекает ось ординат в точке $(0, -1)$.

2. Неравенство $y \le x + 1$ задает полуплоскость, расположенную на прямой $y = x + 1$ и ниже нее. Эта прямая имеет угловой коэффициент $1$ и пересекает ось ординат в точке $(0, 1)$.

Так как угловые коэффициенты прямых $y = x - 1$ и $y = x + 1$ равны, эти прямые параллельны. Искомое множество точек является пересечением двух полуплоскостей, то есть полосой, заключенной между этими двумя параллельными прямыми, включая сами прямые.

Ответ: Множество точек представляет собой бесконечную полосу, заключенную между параллельными прямыми $y = x - 1$ и $y = x + 1$, включая сами прямые.

в)

Рассмотрим систему из двух неравенств:

$ \begin{cases} y \ge |x| \\ y \le 5 \end{cases} $

1. Неравенство $y \ge |x|$ задает область на плоскости, расположенную выше графика функции $y = |x|$ (или на нем). График $y = |x|$ состоит из двух лучей: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$. Эти лучи образуют "угол" с вершиной в начале координат.

2. Неравенство $y \le 5$ задает полуплоскость, расположенную на горизонтальной прямой $y = 5$ и ниже нее.

Искомое множество точек является пересечением этих двух областей. Это замкнутая фигура — треугольник. Найдем его вершины, решая системы уравнений для граничных линий.

• Вершина "угла": пересечение лучей $y=x$ и $y=-x$ — это точка $(0,0)$. Проверим ее: $0 \ge |0|$ (верно), $0 \le 5$ (верно). Значит, $(0,0)$ является вершиной фигуры.
• Пересечение $y=x$ и $y=5$: $x=5$. Точка $(5,5)$.
• Пересечение $y=-x$ и $y=5$: $x=-5$. Точка $(-5,5)$.

Таким образом, искомое множество точек — это равнобедренный треугольник с вершинами в точках $(0,0)$, $(5,5)$ и $(-5,5)$.

Ответ: Множество точек является треугольником с вершинами в точках $(0,0)$, $(-5,5)$ и $(5,5)$.

г)

Рассмотрим систему из трех неравенств:

$ \begin{cases} y \ge -x + 4 \\ y \ge x - 4 \\ y \le \frac{1}{4}x + 2 \end{cases} $

Данное множество точек является пересечением трех полуплоскостей. Так как область ограничена со всех сторон, она представляет собой треугольник. Найдем его вершины как точки попарного пересечения граничных прямых.

1. Найдем точку пересечения прямых $y = -x + 4$ и $y = x - 4$:

$-x + 4 = x - 4 \implies 2x = 8 \implies x = 4$.

Подставим $x=4$ в любое из уравнений: $y = 4 - 4 = 0$. Получаем вершину $A(4,0)$.

Проверим для третьей прямой: $0 \le \frac{1}{4}(4) + 2 = 1+2=3$. Неравенство выполняется.

2. Найдем точку пересечения прямых $y = -x + 4$ и $y = \frac{1}{4}x + 2$:

$-x + 4 = \frac{1}{4}x + 2 \implies 2 = x + \frac{1}{4}x \implies 2 = \frac{5}{4}x \implies x = \frac{8}{5}$.

Подставим $x=\frac{8}{5}$ в первое уравнение: $y = -\frac{8}{5} + 4 = \frac{-8+20}{5} = \frac{12}{5}$. Получаем вершину $B(\frac{8}{5}, \frac{12}{5})$.

Проверим для второй прямой: $\frac{12}{5} \ge \frac{8}{5} - 4 = \frac{8-20}{5} = -\frac{12}{5}$. Неравенство выполняется.

3. Найдем точку пересечения прямых $y = x - 4$ и $y = \frac{1}{4}x + 2$:

$x - 4 = \frac{1}{4}x + 2 \implies x - \frac{1}{4}x = 6 \implies \frac{3}{4}x = 6 \implies x = 8$.

Подставим $x=8$ в первое уравнение: $y = 8 - 4 = 4$. Получаем вершину $C(8,4)$.

Проверим для первой прямой: $4 \ge -8 + 4 = -4$. Неравенство выполняется.

Искомое множество — это треугольник, ограниченный этими тремя прямыми, включая его границы.

Ответ: Множество точек является треугольником с вершинами в точках $(4,0)$, $(\frac{8}{5}, \frac{12}{5})$ и $(8,4)$.