Номер 698, страница 215 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Геометрическая интерпретация неравенств с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 698, страница 215.

Условие.

698 Какое множество точек координатной плоскости задается неравенством:

а) $y \ge x^2$;

б) $y \le x^3$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Неравенство $y \ge x^2$ задает множество точек на координатной плоскости. Чтобы найти это множество, сначала рассмотрим граничное уравнение $y = x^2$. Графиком этого уравнения является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.
Поскольку неравенство является нестрогим ($ \ge $), то все точки, лежащие на самой параболе, принадлежат искомому множеству.
Далее, парабола делит всю координатную плоскость на две области: область "внутри" (над) параболой и область "снаружи" (под) параболой. Чтобы определить, какая из этих областей является решением неравенства, выберем произвольную "пробную" точку, не лежащую на параболе. Удобно взять точку $(0, 1)$, которая находится над параболой.
Подставим координаты этой точки в исходное неравенство: $1 \ge 0^2$
$1 \ge 0$
Полученное неравенство верно. Это означает, что область, в которой лежит точка $(0, 1)$, удовлетворяет неравенству. Таким образом, решением является множество всех точек, расположенных над параболой.
Объединяя точки на границе и точки над ней, получаем искомое множество.
Ответ: множество точек плоскости, расположенных на параболе $y=x^2$ и над ней.

б) Рассмотрим неравенство $y \le x^3$. Границей для этого множества точек является график функции $y = x^3$, известный как кубическая парабола. Эта кривая проходит через начало координат.
Так как неравенство нестрогое ($ \le $), все точки на самой кривой $y = x^3$ являются частью решения.
Кривая $y = x^3$ делит плоскость на две области. Чтобы определить искомую область, возьмем пробную точку, не лежащую на кривой. Например, точку $(2, 1)$. Эта точка находится под графиком, так как $1 < 2^3 = 8$.
Подставим координаты точки $(2, 1)$ в неравенство: $1 \le 2^3$
$1 \le 8$
Это неравенство верно. Следовательно, область, содержащая точку $(2, 1)$, то есть область под кривой $y = x^3$, является решением.
Для дополнительной проверки можно взять точку с другой стороны от кривой, например, $(-1, 1)$. Она находится над графиком, так как $1 > (-1)^3 = -1$.
Подставим $(-1, 1)$ в неравенство: $1 \le (-1)^3$
$1 \le -1$
Это неравенство ложно, что подтверждает наш вывод.
Итак, искомое множество состоит из точек самой кривой и всех точек под ней.
Ответ: множество точек плоскости, расположенных на кривой $y=x^3$ и под ней.