Номер 697, страница 215 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Геометрическая интерпретация неравенств с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 697, страница 215.

Условие.

697 Постройте множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству:

а) $y \ge -x$;

б) $y < -x$;

в) $y \ge 2x$;

г) $y \le -2x + 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y \ge -x$

Чтобы построить множество точек, удовлетворяющих этому неравенству, мы сначала строим график соответствующего равенства, то есть прямой $y = -x$. Эта прямая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов и проходит через начало координат (0, 0) и, например, точку (2, -2).

Поскольку знак неравенства нестрогий ($\ge$), точки, лежащие на самой прямой $y = -x$, также являются решениями. Поэтому мы рисуем прямую сплошной линией.

Прямая $y = -x$ делит координатную плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является решением, нужно выбрать контрольную точку, не лежащую на прямой. Возьмем, к примеру, точку (1, 0). Подставим ее координаты в исходное неравенство:

$0 \ge -1$

Это верное утверждение. Следовательно, решением неравенства является та полуплоскость, в которой лежит точка (1, 0). Это область, расположенная выше прямой $y = -x$.

Ответ: Множество точек, расположенных на прямой $y = -x$ и выше нее.

б) $y < -x$

Аналогично предыдущему пункту, сначала рассматриваем граничную прямую $y = -x$.

В данном случае неравенство строгое (<), поэтому точки на самой прямой $y = -x$ не входят в множество решений. Следовательно, прямую следует изобразить пунктирной линией.

Чтобы определить нужную полуплоскость, снова возьмем контрольную точку, не принадлежащую прямой, например (0, -1). Подставим ее координаты в неравенство $y < -x$:

$-1 < -0$

$-1 < 0$

Это верное утверждение. Значит, искомое множество точек — это полуплоскость, содержащая точку (0, -1), то есть область, расположенная строго ниже прямой $y = -x$.

Ответ: Множество точек, расположенных ниже прямой $y = -x$. Граница (сама прямая) в решение не входит.

в) $y \ge 2x$

Сначала построим граничную прямую, которая задается уравнением $y = 2x$. Это прямая, проходящая через начало координат (0, 0). Для ее построения найдем еще одну точку: при $x=1$, $y=2$. Таким образом, прямая проходит через точки (0, 0) и (1, 2).

Так как неравенство нестрогое ($\ge$), прямая $y = 2x$ является частью решения, и ее нужно нарисовать сплошной линией.

Прямая делит плоскость на две полуплоскости. Поскольку прямая проходит через начало координат, выберем другую контрольную точку, например, (-2, 1). Подставим ее координаты в исходное неравенство:

$1 \ge 2 \cdot (-2)$

$1 \ge -4$

Это верное неравенство. Следовательно, решением является полуплоскость, в которой находится точка (-2, 1). Это полуплоскость, расположенная выше прямой $y = 2x$.

Ответ: Множество точек, расположенных на прямой $y = 2x$ и выше нее.

г) $y \le -2x + 4$

Для построения множества решений сначала строим граничную прямую $y = -2x + 4$. Найдем точки пересечения этой прямой с осями координат для удобства построения.

При $x=0$, $y = -2(0) + 4 = 4$. Точка пересечения с осью OY: (0, 4).

При $y=0$, $0 = -2x + 4$, откуда $2x = 4$, $x = 2$. Точка пересечения с осью OX: (2, 0).

Проводим через эти две точки прямую. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки на прямой $y = -2x + 4$ являются частью решения, и прямую рисуем сплошной линией.

Выберем контрольную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат (0, 0). Подставим ее координаты в неравенство:

$0 \le -2(0) + 4$

$0 \le 4$

Неравенство верное. Значит, решением является та полуплоскость, которая содержит точку (0, 0). Это полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = -2x + 4$.

Ответ: Множество точек, расположенных на прямой $y = -2x + 4$ и ниже нее.