Номер 692, страница 213 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.7. Задачи на координатной плоскости. Глава 4. Системы уравнений - номер 692, страница 213.

Условие.

692 Докажите, что точки $(-2; -14)$, $(2; 6)$, $(3; 11)$ лежат на одной прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы доказать, что три точки лежат на одной прямой, достаточно составить уравнение прямой, проходящей через две из этих точек, а затем проверить, удовлетворяют ли координаты третьей точки этому уравнению.

Обозначим точки: A(-2; -14), B(2; 6) и C(3; 11).

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, а $b$ – свободный член (точка пересечения с осью OY).

1. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A и B.

Для этого подставим координаты точек A и B в уравнение прямой и решим полученную систему уравнений:

Для точки A(-2; -14): $-14 = k \cdot (-2) + b$

Для точки B(2; 6): $6 = k \cdot 2 + b$

Получаем систему:

$ \begin{cases} -2k + b = -14 \\ 2k + b = 6 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы найти $b$:

$(-2k + b) + (2k + b) = -14 + 6$

$2b = -8$

$b = -4$

Теперь подставим значение $b = -4$ во второе уравнение системы, чтобы найти $k$:

$2k + (-4) = 6$

$2k = 6 + 4$

$2k = 10$

$k = 5$

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки A и B, имеет вид: $y = 5x - 4$.

2. Проверим, лежит ли точка C(3; 11) на этой прямой.

Подставим координаты точки C (где $x = 3$ и $y = 11$) в полученное уравнение $y = 5x - 4$:

$11 = 5 \cdot 3 - 4$

$11 = 15 - 4$

$11 = 11$

Равенство верное, следовательно, точка C(3; 11) также лежит на прямой $y = 5x - 4$.

Поскольку все три точки удовлетворяют уравнению одной и той же прямой, они лежат на одной прямой.

Ответ: Точки (-2; -14), (2; 6) и (3; 11) лежат на одной прямой $y = 5x - 4$, что и требовалось доказать.