Номер 693, страница 213 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.7. Задачи на координатной плоскости. Глава 4. Системы уравнений - номер 693, страница 213.

Условие.

693 Четыре точки заданы своими координатами: $A(-5; 6)$, $B(7; 2)$, $C(5; 1)$, $D(-4; 4)$. Определите, параллельны ли прямые:

а) $AB$ и $CD$;

б) $BC$ и $AD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для определения параллельности прямых найдем координаты направляющих векторов для каждой прямой и проверим их на коллинеарность. Две прямые параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны. Векторы $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ коллинеарны, если их координаты пропорциональны, то есть существует такое число $k$, что $x_1 = k \cdot x_2$ и $y_1 = k \cdot y_2$. Это равносильно проверке равенства отношений координат: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$.

Координаты вектора $\vec{PQ}$, с началом в точке $P(x_P; y_P)$ и концом в точке $Q(x_Q; y_Q)$, вычисляются по формуле: $\vec{PQ} = (x_Q - x_P; y_Q - y_P)$.

Даны точки $A(-5; 6)$, $B(7; 2)$, $C(5; 1)$, $D(-4; 4)$.

а) AB и CD;

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.

$\vec{AB} = (7 - (-5); 2 - 6) = (12; -4)$.

$\vec{CD} = (-4 - 5; 4 - 1) = (-9; 3)$.

Теперь проверим пропорциональность координат векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$:

Отношение x-координат: $\frac{12}{-9} = -\frac{4}{3}$.

Отношение y-координат: $\frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}$.

Так как отношения координат равны ($-\frac{4}{3} = -\frac{4}{3}$), векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны. Следовательно, прямые AB и CD параллельны.

Ответ: прямые AB и CD параллельны.

б) BC и AD.

Найдем координаты векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$.

$\vec{BC} = (5 - 7; 1 - 2) = (-2; -1)$.

$\vec{AD} = (-4 - (-5); 4 - 6) = (-4 + 5; -2) = (1; -2)$.

Проверим пропорциональность координат векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$:

Отношение x-координат: $\frac{-2}{1} = -2$.

Отношение y-координат: $\frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$.

Так как отношения координат не равны ($-2 \neq \frac{1}{2}$), векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ не коллинеарны. Следовательно, прямые BC и AD не параллельны.

Ответ: прямые BC и AD не параллельны.