Номер 700, страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Геометрическая интерпретация неравенств с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 700, страница 216.

Условие.

700 Закрасьте часть координатной плоскости, которая расположена ниже каждой из прямых $x + 3y = 16$ и $2x + y = 12$, ограничена горизонталями $y = 0$ и $y = 5$, а также вертикалями $x = 0$ и $x = 5$. Задайте это множество точек плоскости системой неравенств.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Задайте это множество точек плоскости системой неравенств.

Для определения множества точек на плоскости переведем каждое условие из текста задачи в математическое неравенство.
1. Условие, что область расположена "ниже каждой из прямых $x+3y=16$ и $2x+y=12$", означает, что координаты точек $(x, y)$ должны удовлетворять неравенствам $x+3y \le 16$ и $2x+y \le 12$. Знак "меньше или равно" используется, так как точки на самих прямых включаются в область.
2. Условие, что область "ограничена горизонталями $y=0$ и $y=5$", задает ограничения для координаты $y$: $0 \le y \le 5$.
3. Условие, что область "ограничена ... вертикалями $x=0$ и $x=5$", задает ограничения для координаты $x$: $0 \le x \le 5$.
Объединив все эти условия, получаем искомую систему неравенств.

Закрасьте часть координатной плоскости.

Чтобы закрасить искомую часть плоскости, необходимо построить на координатной плоскости область, соответствующую найденной системе неравенств. Эта область является многоугольником, ограниченным линиями, которые соответствуют равенствам в системе.
1. Построение границ. Начертим на координатной плоскости прямые: $x=0$, $x=5$, $y=0$, $y=5$, $x+3y=16$ и $2x+y=12$.
2. Определение вершин многоугольника. Вершины искомой области — это точки пересечения граничных линий, которые удовлетворяют всем неравенствам системы. Найдем координаты этих вершин:
- Пересечение $x=0$ и $y=0$: точка $(0,0)$.
- Пересечение $y=0$ и $x=5$: точка $(5,0)$.
- Пересечение $x=5$ и $2x+y=12$: подставив $x=5$ в уравнение, получаем $2(5)+y=12$, откуда $y=2$. Точка $(5,2)$.
- Пересечение $2x+y=12$ и $x+3y=16$: решаем систему уравнений. Из первого уравнения $y=12-2x$. Подставляем во второе: $x+3(12-2x)=16 \implies x+36-6x=16 \implies -5x = -20 \implies x=4$. Тогда $y=12-2(4)=4$. Точка $(4,4)$.
- Пересечение $x+3y=16$ и $y=5$: подставив $y=5$, получаем $x+3(5)=16$, откуда $x=1$. Точка $(1,5)$.
- Пересечение $y=5$ и $x=0$: точка $(0,5)$.
3. Закрашивание области. Искомая область — это выпуклый шестиугольник с вершинами в найденных точках. Необходимо закрасить область внутри этого шестиугольника.

Ответ: Искомое множество точек задается системой неравенств:$$\begin{cases}0 \le x \le 5 \\0 \le y \le 5 \\x+3y \le 16 \\2x+y \le 12\end{cases}$$Графически эта область представляет собой шестиугольник с вершинами в точках $(0,0)$, $(5,0)$, $(5,2)$, $(4,4)$, $(1,5)$ и $(0,5)$.