Номер 694, страница 213 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.7. Задачи на координатной плоскости. Глава 4. Системы уравнений - номер 694, страница 213.

Условие.

694 Три прямые $y = -\frac{2}{3}x + 2$, $y = 4x + 16$, $y = \frac{6}{5}x + 2$, попарно пересекаясь, образуют треугольник. Найдите координаты его вершин.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Вершины треугольника являются точками попарного пересечения заданных прямых. Чтобы найти их координаты, необходимо найти точки пересечения для каждой пары прямых, решив три соответствующие системы уравнений.

1. Нахождение точки пересечения прямых $y = -\frac{2}{3}x + 2$ и $y = 4x + 16$

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу ($x$) точки пересечения:
$-\frac{2}{3}x + 2 = 4x + 16$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть уравнения, а свободные члены — в другую:
$2 - 16 = 4x + \frac{2}{3}x$
$-14 = (\frac{12}{3} + \frac{2}{3})x$
$-14 = \frac{14}{3}x$
$x = -14 \cdot \frac{3}{14} = -3$
Теперь найдем ординату ($y$), подставив найденное значение $x = -3$ в уравнение второй прямой:
$y = 4(-3) + 16 = -12 + 16 = 4$
Таким образом, координаты первой вершины: $(-3, 4)$.

2. Нахождение точки пересечения прямых $y = -\frac{2}{3}x + 2$ и $y = \frac{6}{5}x + 2$

Приравняем правые части уравнений:
$-\frac{2}{3}x + 2 = \frac{6}{5}x + 2$
Вычтем 2 из обеих частей уравнения:
$-\frac{2}{3}x = \frac{6}{5}x$
Перенесем все в одну сторону:
$\frac{6}{5}x + \frac{2}{3}x = 0$
$(\frac{18}{15} + \frac{10}{15})x = 0$
$\frac{28}{15}x = 0$
Данное равенство верно только при $x = 0$.
Найдем ординату, подставив $x = 0$ в уравнение первой прямой:
$y = -\frac{2}{3}(0) + 2 = 2$
Координаты второй вершины: $(0, 2)$.

3. Нахождение точки пересечения прямых $y = 4x + 16$ и $y = \frac{6}{5}x + 2$

Приравняем правые части уравнений:
$4x + 16 = \frac{6}{5}x + 2$
Сгруппируем слагаемые:
$4x - \frac{6}{5}x = 2 - 16$
$(\frac{20}{5} - \frac{6}{5})x = -14$
$\frac{14}{5}x = -14$
$x = -14 \cdot \frac{5}{14} = -5$
Найдем ординату, подставив $x = -5$ в уравнение первой из этих прямых:
$y = 4(-5) + 16 = -20 + 16 = -4$
Координаты третьей вершины: $(-5, -4)$.

Итак, мы нашли координаты всех трех вершин треугольника.
Ответ: $(-3, 4)$, $(0, 2)$, $(-5, -4)$.