Страница 213 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

692 Докажите, что точки $(-2; -14)$, $(2; 6)$, $(3; 11)$ лежат на одной прямой.

Для того чтобы доказать, что три точки лежат на одной прямой, достаточно составить уравнение прямой, проходящей через две из этих точек, а затем проверить, удовлетворяют ли координаты третьей точки этому уравнению.

Обозначим точки: A(-2; -14), B(2; 6) и C(3; 11).

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, а $b$ – свободный член (точка пересечения с осью OY).

1. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A и B.

Для этого подставим координаты точек A и B в уравнение прямой и решим полученную систему уравнений:

Для точки A(-2; -14): $-14 = k \cdot (-2) + b$

Для точки B(2; 6): $6 = k \cdot 2 + b$

Получаем систему:

$ \begin{cases} -2k + b = -14 \\ 2k + b = 6 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы найти $b$:

$(-2k + b) + (2k + b) = -14 + 6$

$2b = -8$

$b = -4$

Теперь подставим значение $b = -4$ во второе уравнение системы, чтобы найти $k$:

$2k + (-4) = 6$

$2k = 6 + 4$

$2k = 10$

$k = 5$

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки A и B, имеет вид: $y = 5x - 4$.

2. Проверим, лежит ли точка C(3; 11) на этой прямой.

Подставим координаты точки C (где $x = 3$ и $y = 11$) в полученное уравнение $y = 5x - 4$:

$11 = 5 \cdot 3 - 4$

$11 = 15 - 4$

$11 = 11$

Равенство верное, следовательно, точка C(3; 11) также лежит на прямой $y = 5x - 4$.

Поскольку все три точки удовлетворяют уравнению одной и той же прямой, они лежат на одной прямой.

Ответ: Точки (-2; -14), (2; 6) и (3; 11) лежат на одной прямой $y = 5x - 4$, что и требовалось доказать.

693 Четыре точки заданы своими координатами: $A(-5; 6)$, $B(7; 2)$, $C(5; 1)$, $D(-4; 4)$. Определите, параллельны ли прямые:

а) $AB$ и $CD$;

б) $BC$ и $AD$.

Для определения параллельности прямых найдем координаты направляющих векторов для каждой прямой и проверим их на коллинеарность. Две прямые параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны. Векторы $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ коллинеарны, если их координаты пропорциональны, то есть существует такое число $k$, что $x_1 = k \cdot x_2$ и $y_1 = k \cdot y_2$. Это равносильно проверке равенства отношений координат: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$.

Координаты вектора $\vec{PQ}$, с началом в точке $P(x_P; y_P)$ и концом в точке $Q(x_Q; y_Q)$, вычисляются по формуле: $\vec{PQ} = (x_Q - x_P; y_Q - y_P)$.

Даны точки $A(-5; 6)$, $B(7; 2)$, $C(5; 1)$, $D(-4; 4)$.

а) AB и CD;

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.

$\vec{AB} = (7 - (-5); 2 - 6) = (12; -4)$.

$\vec{CD} = (-4 - 5; 4 - 1) = (-9; 3)$.

Теперь проверим пропорциональность координат векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$:

Отношение x-координат: $\frac{12}{-9} = -\frac{4}{3}$.

Отношение y-координат: $\frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}$.

Так как отношения координат равны ($-\frac{4}{3} = -\frac{4}{3}$), векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны. Следовательно, прямые AB и CD параллельны.

Ответ: прямые AB и CD параллельны.

б) BC и AD.

Найдем координаты векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$.

$\vec{BC} = (5 - 7; 1 - 2) = (-2; -1)$.

$\vec{AD} = (-4 - (-5); 4 - 6) = (-4 + 5; -2) = (1; -2)$.

Проверим пропорциональность координат векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$:

Отношение x-координат: $\frac{-2}{1} = -2$.

Отношение y-координат: $\frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$.

Так как отношения координат не равны ($-2 \neq \frac{1}{2}$), векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ не коллинеарны. Следовательно, прямые BC и AD не параллельны.

Ответ: прямые BC и AD не параллельны.

694 Три прямые $y = -\frac{2}{3}x + 2$, $y = 4x + 16$, $y = \frac{6}{5}x + 2$, попарно пересекаясь, образуют треугольник. Найдите координаты его вершин.

Вершины треугольника являются точками попарного пересечения заданных прямых. Чтобы найти их координаты, необходимо найти точки пересечения для каждой пары прямых, решив три соответствующие системы уравнений.

1. Нахождение точки пересечения прямых $y = -\frac{2}{3}x + 2$ и $y = 4x + 16$

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу ($x$) точки пересечения:
$-\frac{2}{3}x + 2 = 4x + 16$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть уравнения, а свободные члены — в другую:
$2 - 16 = 4x + \frac{2}{3}x$
$-14 = (\frac{12}{3} + \frac{2}{3})x$
$-14 = \frac{14}{3}x$
$x = -14 \cdot \frac{3}{14} = -3$
Теперь найдем ординату ($y$), подставив найденное значение $x = -3$ в уравнение второй прямой:
$y = 4(-3) + 16 = -12 + 16 = 4$
Таким образом, координаты первой вершины: $(-3, 4)$.

2. Нахождение точки пересечения прямых $y = -\frac{2}{3}x + 2$ и $y = \frac{6}{5}x + 2$

Приравняем правые части уравнений:
$-\frac{2}{3}x + 2 = \frac{6}{5}x + 2$
Вычтем 2 из обеих частей уравнения:
$-\frac{2}{3}x = \frac{6}{5}x$
Перенесем все в одну сторону:
$\frac{6}{5}x + \frac{2}{3}x = 0$
$(\frac{18}{15} + \frac{10}{15})x = 0$
$\frac{28}{15}x = 0$
Данное равенство верно только при $x = 0$.
Найдем ординату, подставив $x = 0$ в уравнение первой прямой:
$y = -\frac{2}{3}(0) + 2 = 2$
Координаты второй вершины: $(0, 2)$.

3. Нахождение точки пересечения прямых $y = 4x + 16$ и $y = \frac{6}{5}x + 2$

Приравняем правые части уравнений:
$4x + 16 = \frac{6}{5}x + 2$
Сгруппируем слагаемые:
$4x - \frac{6}{5}x = 2 - 16$
$(\frac{20}{5} - \frac{6}{5})x = -14$
$\frac{14}{5}x = -14$
$x = -14 \cdot \frac{5}{14} = -5$
Найдем ординату, подставив $x = -5$ в уравнение первой из этих прямых:
$y = 4(-5) + 16 = -20 + 16 = -4$
Координаты третьей вершины: $(-5, -4)$.

Итак, мы нашли координаты всех трех вершин треугольника.
Ответ: $(-3, 4)$, $(0, 2)$, $(-5, -4)$.

695 Постройте прямую $y = -\frac{1}{3}x + 1$. Постройте прямую, симметричную ей относительно:

а) оси $y$;

б) оси $x$;

в) начала координат.

В каждом случае запишите уравнение построенной прямой.

Сначала построим исходную прямую, заданную уравнением $y = -\frac{1}{3}x + 1$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых её точек. Удобнее всего найти точки пересечения с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (OY). Для этого примем $x=0$:
$y = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 1 = 1$.
Получаем точку $(0, 1)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (OX). Для этого примем $y=0$:
$0 = -\frac{1}{3}x + 1$
$\frac{1}{3}x = 1$
$x = 3$.
Получаем точку $(3, 0)$.

Проведя прямую через точки $(0, 1)$ и $(3, 0)$, мы получим график исходной функции.

Теперь построим прямые, симметричные данной, и найдем их уравнения.

а) Симметрия относительно оси y.

При симметричном отображении относительно оси ординат (оси y), у каждой точки графика абсцисса ($x$) меняет свой знак на противоположный, а ордината ($y$) остается без изменений. То есть, точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку $(-x, y)$.

Чтобы найти уравнение новой прямой, нужно в исходном уравнении $y = -\frac{1}{3}x + 1$ заменить $x$ на $-x$:
$y = -\frac{1}{3}(-x) + 1$
$y = \frac{1}{3}x + 1$

Ответ: $y = \frac{1}{3}x + 1$.

б) Симметрия относительно оси x.

При симметричном отображении относительно оси абсцисс (оси x), у каждой точки графика ордината ($y$) меняет свой знак на противоположный, а абсцисса ($x$) остается без изменений. То есть, точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку $(x, -y)$.

Чтобы найти уравнение новой прямой, нужно в исходном уравнении $y = -\frac{1}{3}x + 1$ заменить $y$ на $-y$:
$-y = -\frac{1}{3}x + 1$
Теперь умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы выразить $y$:
$y = -(-\frac{1}{3}x + 1)$
$y = \frac{1}{3}x - 1$

Ответ: $y = \frac{1}{3}x - 1$.

в) Симметрия относительно начала координат.

При симметричном отображении относительно начала координат $(0, 0)$, у каждой точки графика и абсцисса ($x$), и ордината ($y$) меняют свои знаки на противоположные. То есть, точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку $(-x, -y)$.

Чтобы найти уравнение новой прямой, нужно в исходном уравнении $y = -\frac{1}{3}x + 1$ заменить $x$ на $-x$ и $y$ на $-y$:
$-y = -\frac{1}{3}(-x) + 1$
$-y = \frac{1}{3}x + 1$
Теперь умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы выразить $y$:
$y = -(\frac{1}{3}x + 1)$
$y = -\frac{1}{3}x - 1$

Ответ: $y = -\frac{1}{3}x - 1$.

696 ИССЛЕДУЕМ

1) В одной системе координат постройте прямые:

a) $y=3x+1$ и $y=-\frac{1}{3}x+1;$

б) $y=-2x+2$ и $y=\frac{1}{2}x-3.$

2) Убедитесь, что прямые на каждом из рисунков перпендикулярны. Как связаны между собой угловые коэффициенты каждой пары прямых?

3) Запишите в буквенном виде соотношение, связывающее угловые коэффициенты перпендикулярных прямых $y=k_1x+l_1$ и $y=k_2x+l_2$.

4) Запишите уравнение какой-нибудь прямой, перпендикулярной прямой:

a) $y=-\frac{1}{4}x-1;$

б) $y=x+5.$

В каждом случае выполните чертёж.

5) Дана прямая $y=-\frac{3}{2}x+3$. Запишите уравнение прямой:

a) перпендикулярной данной прямой и проходящей через начало координат;

б) перпендикулярной данной прямой и проходящей через точку $A(9; 2);$

в) пересекающей данную прямую под прямым углом в точке $M(0; 3).$

1) Для построения прямых, заданных уравнениями вида $y = kx + b$, достаточно найти координаты двух точек, принадлежащих каждой прямой, отметить их в системе координат и провести через них прямую.

а) Для прямой $y = 3x + 1$:

• При $x = 0$, $y = 3 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0; 1)$.
• При $x = 1$, $y = 3 \cdot 1 + 1 = 4$. Точка $(1; 4)$.

Для прямой $y = -\frac{1}{3}x + 1$:

• При $x = 0$, $y = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0; 1)$.
• При $x = 3$, $y = -\frac{1}{3} \cdot 3 + 1 = -1 + 1 = 0$. Точка $(3; 0)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их, получим две прямые, пересекающиеся в точке $(0; 1)$.

б) Для прямой $y = -2x + 2$:

• При $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$.
• При $x = 1$, $y = -2 \cdot 1 + 2 = 0$. Точка $(1; 0)$.

Для прямой $y = \frac{1}{2}x - 3$:

• При $x = 0$, $y = \frac{1}{2} \cdot 0 - 3 = -3$. Точка $(0; -3)$.
• При $x = 2$, $y = \frac{1}{2} \cdot 2 - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка $(2; -2)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их, получим две прямые.

2) Две прямые, заданные уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно $-1$, то есть $k_1 \cdot k_2 = -1$.

Проверим это условие для заданных пар прямых:

а) Для прямых $y = 3x + 1$ и $y = -\frac{1}{3}x + 1$ угловые коэффициенты равны $k_1 = 3$ и $k_2 = -\frac{1}{3}$.
Их произведение: $k_1 \cdot k_2 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1$. Следовательно, прямые перпендикулярны.

б) Для прямых $y = -2x + 2$ и $y = \frac{1}{2}x - 3$ угловые коэффициенты равны $k_1 = -2$ и $k_2 = \frac{1}{2}$.
Их произведение: $k_1 \cdot k_2 = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$. Следовательно, прямые перпендикулярны.

Связь между угловыми коэффициентами перпендикулярных прямых заключается в том, что их произведение равно $-1$. Иначе говоря, один коэффициент является обратным по величине и противоположным по знаку другому ($k_2 = -1/k_1$).

Ответ: Угловые коэффициенты каждой пары перпендикулярных прямых являются взаимно обратными числами с противоположными знаками, их произведение равно $-1$.

3) Соотношение, связывающее угловые коэффициенты $k_1$ и $k_2$ перпендикулярных прямых $y = k_1x + l_1$ и $y = k_2x + l_2$, записывается в виде формулы.

Ответ: $k_1 \cdot k_2 = -1$.

4) Чтобы написать уравнение прямой, перпендикулярной данной, нужно найти ее угловой коэффициент $k_2$ из условия $k_1 \cdot k_2 = -1$, где $k_1$ — угловой коэффициент данной прямой. Свободный член $b$ можно выбрать произвольно. Для простоты можно выбрать $b=0$, тогда прямая будет проходить через начало координат.

а) Дана прямая $y = -\frac{1}{4}x - 1$. Ее угловой коэффициент $k_1 = -\frac{1}{4}$. Найдем угловой коэффициент перпендикулярной прямой $k_2$:
$k_2 = -\frac{1}{k_1} = -\frac{1}{-1/4} = 4$.
Возьмем, например, прямую с $b=2$. Тогда уравнение перпендикулярной прямой: $y = 4x + 2$.
Для построения чертежа:

• Прямая $y = -\frac{1}{4}x - 1$ проходит через точки $(0; -1)$ и $(4; -2)$.
• Прямая $y = 4x + 2$ проходит через точки $(0; 2)$ и $(-1; -2)$.

Ответ: $y = 4x + 2$ (возможны другие варианты).

б) Дана прямая $y = x + 5$. Ее угловой коэффициент $k_1 = 1$.
Найдем угловой коэффициент перпендикулярной прямой $k_2$:
$k_2 = -\frac{1}{k_1} = -\frac{1}{1} = -1$.
Возьмем, например, прямую с $b=0$. Тогда уравнение перпендикулярной прямой: $y = -x$.
Для построения чертежа:

• Прямая $y = x + 5$ проходит через точки $(0; 5)$ и $(-5; 0)$.
• Прямая $y = -x$ проходит через точки $(0; 0)$ и $(1; -1)$.

Ответ: $y = -x$ (возможны другие варианты).

5) Дана прямая $y = -\frac{3}{2}x + 3$ с угловым коэффициентом $k_1 = -\frac{3}{2}$. Угловой коэффициент $k_2$ любой прямой, перпендикулярной данной, равен: $k_2 = -\frac{1}{k_1} = -\frac{1}{-3/2} = \frac{2}{3}$. Следовательно, уравнение искомой прямой имеет вид $y = \frac{2}{3}x + b$.

а) Прямая проходит через начало координат, то есть через точку $(0; 0)$. Подставим эти координаты в уравнение $y = \frac{2}{3}x + b$:
$0 = \frac{2}{3} \cdot 0 + b$
$b = 0$
Уравнение прямой: $y = \frac{2}{3}x$.

Ответ: $y = \frac{2}{3}x$.

б) Прямая проходит через точку $A(9; 2)$. Подставим эти координаты в уравнение $y = \frac{2}{3}x + b$:
$2 = \frac{2}{3} \cdot 9 + b$
$2 = 6 + b$
$b = 2 - 6 = -4$
Уравнение прямой: $y = \frac{2}{3}x - 4$.

Ответ: $y = \frac{2}{3}x - 4$.

в) Прямая пересекает данную прямую под прямым углом в точке $M(0; 3)$. Это означает, что искомая перпендикулярная прямая проходит через точку $M(0; 3)$. Подставим координаты этой точки в уравнение $y = \frac{2}{3}x + b$:
$3 = \frac{2}{3} \cdot 0 + b$
$b = 3$
Уравнение прямой: $y = \frac{2}{3}x + 3$.

Ответ: $y = \frac{2}{3}x + 3$.