Страница 206 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Решите задачу (665–680).

665 a) Длина ограды вокруг участка прямоугольной формы равна 140 м. Одна из сторон участка на 50 м больше другой. Найдите размеры участка.

б) Брат и сестра, работая в каникулы на почте, заработали 2300 р. Брат заработал на 400 р. больше сестры. Сколько заработал каждый?

а)

Пусть одна из сторон участка (ширина) равна $x$ метров. По условию, другая сторона на 50 м больше, значит, она равна $(x + 50)$ метров.

Длина ограды — это периметр прямоугольного участка. Периметр $P$ прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$. В нашем случае периметр равен 140 м.

Составим уравнение, подставив наши значения в формулу периметра:
$2 \cdot (x + (x + 50)) = 140$

Теперь решим это уравнение:
$2 \cdot (2x + 50) = 140$
Раскроем скобки:
$4x + 100 = 140$
Перенесем 100 в правую часть уравнения:
$4x = 140 - 100$
$4x = 40$
Найдем $x$:
$x = \frac{40}{4}$
$x = 10$

Таким образом, меньшая сторона (ширина) участка равна 10 м.

Найдем большую сторону (длину):
$x + 50 = 10 + 50 = 60$ м.

Проверим правильность решения, вычислив периметр с найденными сторонами:
$P = 2 \cdot (10 + 60) = 2 \cdot 70 = 140$ м.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: размеры участка 10 м и 60 м.

б)

Пусть сестра заработала $x$ рублей. По условию, брат заработал на 400 рублей больше, то есть $(x + 400)$ рублей.

Вместе они заработали 2300 рублей. Составим уравнение, сложив их заработки:
$x + (x + 400) = 2300$

Решим полученное уравнение:
$2x + 400 = 2300$
Перенесем 400 в правую часть уравнения:
$2x = 2300 - 400$
$2x = 1900$
Найдем $x$:
$x = \frac{1900}{2}$
$x = 950$

Следовательно, сестра заработала 950 рублей.

Теперь найдем, сколько заработал брат:
$x + 400 = 950 + 400 = 1350$ рублей.

Проверим: общая сумма заработка составляет $950 + 1350 = 2300$ рублей, что соответствует условию задачи.

Ответ: сестра заработала 950 р., а брат — 1350 р.

666 а) Группа туристов отправилась в поход на 12 байдарках. Часть байдарок были двухместные, а часть — трёхместные. Сколько двухместных и сколько трёхместных байдарок использовали в походе, если группа состояла из 29 человек и все места были заняты?

б) На теплоходе 17 четырёхместных и шестиместных кают. В них можно перевезти 78 пассажиров. Сколько тех и других кают в отдельности имеется на теплоходе?

а)

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — количество двухместных байдарок, а $y$ — количество трёхместных байдарок.

Согласно условию, всего было 12 байдарок. Это даёт нам первое уравнение:

$x + y = 12$

Также известно, что в походе участвовало 29 туристов, и все места были заняты. В $x$ двухместных байдарках разместилось $2x$ человек, а в $y$ трёхместных — $3y$ человек. Это даёт нам второе уравнение:

$2x + 3y = 29$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 12 \\ 2x + 3y = 29 \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 12 - y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(12 - y) + 3y = 29$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$24 - 2y + 3y = 29$

$24 + y = 29$

$y = 29 - 24$

$y = 5$

Таким образом, в походе было 5 трёхместных байдарок.

Теперь найдём количество двухместных байдарок, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 12 - 5$

$x = 7$

Значит, было 7 двухместных байдарок.

Проверим решение: $7 + 5 = 12$ байдарок. $2 \cdot 7 + 3 \cdot 5 = 14 + 15 = 29$ туристов. Все условия выполнены.

Ответ: в походе использовали 7 двухместных и 5 трёхместных байдарок.

б)

Эта задача также решается с помощью системы уравнений. Пусть $x$ — количество четырёхместных кают, а $y$ — количество шестиместных кают.

Всего на теплоходе 17 кают, что даёт нам первое уравнение:

$x + y = 17$

Общая вместимость кают — 78 пассажиров. В $x$ четырёхместных каютах могут разместиться $4x$ пассажиров, а в $y$ шестиместных — $6y$ пассажиров. Второе уравнение:

$4x + 6y = 78$

Получаем систему:

$\begin{cases} x + y = 17 \\ 4x + 6y = 78 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 17 - y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$4(17 - y) + 6y = 78$

Решим полученное уравнение:

$68 - 4y + 6y = 78$

$68 + 2y = 78$

$2y = 78 - 68$

$2y = 10$

$y = 5$

На теплоходе было 5 шестиместных кают.

Теперь найдём количество четырёхместных кают:

$x = 17 - 5$

$x = 12$

Значит, на теплоходе было 12 четырёхместных кают.

Проверим решение: $12 + 5 = 17$ кают. $4 \cdot 12 + 6 \cdot 5 = 48 + 30 = 78$ пассажиров. Условия задачи соблюдены.

Ответ: на теплоходе имеется 12 четырёхместных и 5 шестиместных кают.

667 а) У Вани 25 монет по 5 к. и по 10 к., всего на сумму 1 р. 50 к. Сколько 5-копеечных и сколько 10-копеечных монет у Вани?

б) Для школьного вечера купили 10 коробок печенья по 250 г и по 150 г. Общая масса коробок составила 2,1 кг. Сколько купили коробок печенья каждого вида?

а)

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — количество 5-копеечных монет, а $y$ — количество 10-копеечных монет.

Всего у Вани 25 монет, это дает нам первое уравнение:
$x + y = 25$

Общая сумма денег составляет 1 рубль 50 копеек. Переведем эту сумму в копейки, зная, что 1 рубль = 100 копеек: 1 р. 50 к. = $100 + 50 = 150$ копеек. Сумма денег в 5-копеечных монетах равна $5x$ копеек, а в 10-копеечных — $10y$ копеек. Это дает нам второе уравнение:
$5x + 10y = 150$

Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 25 \\ 5x + 10y = 150 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 25 - y$.

Подставим полученное выражение во второе уравнение и решим его относительно $y$:
$5(25 - y) + 10y = 150$
$125 - 5y + 10y = 150$
$125 + 5y = 150$
$5y = 150 - 125$
$5y = 25$
$y = 5$

Мы нашли количество 10-копеечных монет. Теперь найдем количество 5-копеечных монет, подставив значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 25 - 5 = 20$

Таким образом, у Вани было 20 5-копеечных монет и 5 10-копеечных монет.

Ответ: 20 5-копеечных и 5 10-копеечных монет.

б)

Для решения этой задачи также используем систему уравнений. Пусть $x$ — количество коробок печенья массой 250 г, а $y$ — количество коробок массой 150 г.

Всего купили 10 коробок, значит, первое уравнение будет:
$x + y = 10$

Общая масса коробок составляет 2,1 кг. Переведем килограммы в граммы: $2,1 \text{ кг} = 2100 \text{ г}$. Общая масса коробок по 250 г равна $250x$ г, а коробок по 150 г — $150y$ г. Составим второе уравнение:
$250x + 150y = 2100$

Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 10 \\ 250x + 150y = 2100 \end{cases} $

Для удобства расчетов упростим второе уравнение, разделив обе его части на 50:
$5x + 3y = 42$

Теперь наша система выглядит так:
$ \begin{cases} x + y = 10 \\ 5x + 3y = 42 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 10 - x$.

Подставим это выражение во второе (упрощенное) уравнение и решим его:
$5x + 3(10 - x) = 42$
$5x + 30 - 3x = 42$
$2x = 42 - 30$
$2x = 12$
$x = 6$

Мы нашли количество коробок по 250 г. Теперь найдем количество коробок по 150 г:
$y = 10 - x = 10 - 6 = 4$

Следовательно, купили 6 коробок печенья по 250 г и 4 коробки по 150 г.

Ответ: 6 коробок печенья по 250 г и 4 коробки печенья по 150 г.

668 а) Два отдела института приобрели писчую бумагу и скрепки. Один отдел за 5 пачек бумаги и 4 коробки скрепок заплатил 1440 р., а другой отдел за 2 такие же пачки бумаги и 2 коробки скрепок заплатил 600 р. Сколько стоит одна пачка бумаги и одна коробка скрепок?

б) В кафе в понедельник было продано 56 пирожков и 20 бутылок воды на 872 р., а во вторник — 50 пирожков и 40 бутылок воды на 1000 р. Определите цену одного пирожка и одной бутылки воды.

а)

Для решения этой задачи составим систему линейных уравнений. Пусть $x$ — это цена одной пачки бумаги в рублях, а $y$ — цена одной коробки скрепок в рублях.

Исходя из данных о покупке первого отдела, мы можем составить первое уравнение: 5 пачек бумаги и 4 коробки скрепок стоят 1440 рублей.

$5x + 4y = 1440$

Исходя из данных о покупке второго отдела, мы можем составить второе уравнение: 2 пачки бумаги и 2 коробки скрепок стоят 600 рублей.

$2x + 2y = 600$

Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 2:

$(2x + 2y) \div 2 = 600 \div 2$

$x + y = 300$

Теперь у нас есть система уравнений:

$\begin{cases} 5x + 4y = 1440 \\ x + y = 300 \end{cases}$

Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 300 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$5x + 4(300 - x) = 1440$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$5x + 1200 - 4x = 1440$

$x + 1200 = 1440$

$x = 1440 - 1200$

$x = 240$

Итак, цена одной пачки бумаги составляет 240 рублей. Теперь найдем цену коробки скрепок, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 300 - 240$

$y = 60$

Цена одной коробки скрепок составляет 60 рублей.

Проверим решение:
Первый отдел: $5 \cdot 240 + 4 \cdot 60 = 1200 + 240 = 1440$ р. (верно).
Второй отдел: $2 \cdot 240 + 2 \cdot 60 = 480 + 120 = 600$ р. (верно).

Ответ: одна пачка бумаги стоит 240 рублей, а одна коробка скрепок — 60 рублей.

б)

Для решения этой задачи также составим систему уравнений. Пусть $p$ — это цена одного пирожка в рублях, а $w$ — цена одной бутылки воды в рублях.

Из данных о продажах в понедельник получаем первое уравнение: 56 пирожков и 20 бутылок воды стоили 872 рубля.

$56p + 20w = 872$

Из данных о продажах во вторник получаем второе уравнение: 50 пирожков и 40 бутылок воды стоили 1000 рублей.

$50p + 40w = 1000$

Мы получили систему уравнений:

$\begin{cases} 56p + 20w = 872 \\ 50p + 40w = 1000 \end{cases}$

Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 10:

$(50p + 40w) \div 10 = 1000 \div 10$

$5p + 4w = 100$

Выразим $4w$ из этого уравнения:

$4w = 100 - 5p$

Теперь вернемся к первому уравнению: $56p + 20w = 872$. Заметим, что $20w = 5 \cdot (4w)$. Подставим сюда наше выражение для $4w$:

$56p + 5(100 - 5p) = 872$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $p$:

$56p + 500 - 25p = 872$

$31p + 500 = 872$

$31p = 872 - 500$

$31p = 372$

$p = 372 \div 31$

$p = 12$

Цена одного пирожка составляет 12 рублей. Теперь найдем цену бутылки воды, подставив значение $p$ в упрощенное второе уравнение $5p + 4w = 100$:

$5(12) + 4w = 100$

$60 + 4w = 100$

$4w = 100 - 60$

$4w = 40$

$w = 10$

Цена одной бутылки воды составляет 10 рублей.

Проверим решение:
Понедельник: $56 \cdot 12 + 20 \cdot 10 = 672 + 200 = 872$ р. (верно).
Вторник: $50 \cdot 12 + 40 \cdot 10 = 600 + 400 = 1000$ р. (верно).

Ответ: цена одного пирожка — 12 рублей, а цена одной бутылки воды — 10 рублей.