Страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

655 Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x+y=12 \\ xy=32 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x-y=4 \\ xy=12 \end{cases}$

в) $\begin{cases} y=x+2 \\ 4y+x^2=8 \end{cases}$

г) $\begin{cases} y^2+2x-4y=0 \\ 2y-x=2 \end{cases}$

д) $\begin{cases} 2x-y^2=5 \\ x+y^2=16 \end{cases}$

е) $\begin{cases} x^2-3y=-5 \\ x^2-y=1 \end{cases}$

а) $ \begin{cases} x + y = 12, \\ xy = 32. \end{cases} $

Это система, которую удобно решить с помощью теоремы Виета для квадратного уравнения. Числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим значения из системы:

$t^2 - 12t + 32 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{16}}{2} = \frac{12 + 4}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{16}}{2} = \frac{12 - 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Таким образом, пары решений $(x, y)$ — это $(8, 4)$ и $(4, 8)$.

Ответ: $(4, 8)$, $(8, 4)$.

б) $ \begin{cases} x - y = 4, \\ xy = 12. \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 4 + y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(4 + y)y = 12$

$4y + y^2 = 12$

$y^2 + 4y - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = -6$ и $y_2 = 2$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = -6$, то $x_1 = 4 + (-6) = -2$.

Если $y_2 = 2$, то $x_2 = 4 + 2 = 6$.

Получаем две пары решений.

Ответ: $(-2, -6)$, $(6, 2)$.

в) $ \begin{cases} y = x + 2, \\ 4y + x^2 = 8. \end{cases} $

Используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$4(x + 2) + x^2 = 8$

$4x + 8 + x^2 = 8$

$x^2 + 4x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 4) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0 + 2 = 2$.

Если $x_2 = -4$, то $y_2 = -4 + 2 = -2$.

Получаем две пары решений.

Ответ: $(0, 2)$, $(-4, -2)$.

г) $ \begin{cases} y^2 + 2x - 4y = 0, \\ 2y - x = 2. \end{cases} $

Применим метод подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 2y - 2$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$y^2 + 2(2y - 2) - 4y = 0$

$y^2 + 4y - 4 - 4y = 0$

$y^2 - 4 = 0$

$(y - 2)(y + 2) = 0$

Отсюда $y_1 = 2$ или $y_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 2(-2) - 2 = -4 - 2 = -6$.

Получаем две пары решений.

Ответ: $(2, 2)$, $(-6, -2)$.

д) $ \begin{cases} 2x - y^2 = 5, \\ x + y^2 = 16. \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Сложим первое и второе уравнения:

$(2x - y^2) + (x + y^2) = 5 + 16$

$3x = 21$

$x = 7$

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение системы:

$7 + y^2 = 16$

$y^2 = 16 - 7$

$y^2 = 9$

Отсюда $y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.

Получаем две пары решений.

Ответ: $(7, 3)$, $(7, -3)$.

е) $ \begin{cases} x^2 - 3y = -5, \\ x^2 - y = 1. \end{cases} $

Решим систему методом вычитания. Вычтем из первого уравнения второе:

$(x^2 - 3y) - (x^2 - y) = -5 - 1$

$x^2 - 3y - x^2 + y = -6$

$-2y = -6$

$y = 3$

Подставим найденное значение $y$ во второе уравнение системы:

$x^2 - 3 = 1$

$x^2 = 4$

Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Получаем две пары решений.

Ответ: $(2, 3)$, $(-2, 3)$.

656 Пересекаются ли парабола и прямая? Если да, укажите координаты точек пересечения:

а) $y = x^2$ и $x + y = 2;$

б) $y = x^2$ и $x - y = 1;$

в) $y + x^2 = 0$ и $y = -2x - 3;$

г) $y - x^2 = 0$ и $y = -x - 5.$

a) $y = x^2$ и $x + y = 2$

Чтобы найти точки пересечения, необходимо решить систему уравнений. Для этого выразим $y$ из второго уравнения: $y = 2 - x$.

Теперь подставим это выражение в первое уравнение (уравнение параболы):

$x^2 = 2 - x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + x - 2 = 0$

Для решения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$. В данном случае $a=1$, $b=1$, $c=-2$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, а это значит, что парабола и прямая пересекаются в двух точках. Найдем эти корни:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя уравнение $y = 2 - x$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = 2 - 1 = 1$. Координаты первой точки пересечения: $(1, 1)$.

При $x_2 = -2$, $y_2 = 2 - (-2) = 4$. Координаты второй точки пересечения: $(-2, 4)$.

Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(1, 1)$ и $(-2, 4)$.

б) $y = x^2$ и $x - y = 1$

Решим систему уравнений. Из второго уравнения выразим $y$: $y = x - 1$.

Подставим это выражение в уравнение параболы:

$x^2 = x - 1$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 - x + 1 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=1$, $b=-1$, $c=1$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Поскольку $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола и прямая не имеют общих точек.

Ответ: Нет, не пересекаются.

в) $y + x^2 = 0$ и $y = -2x - 3$

Сначала приведем уравнение параболы к стандартному виду $y = f(x)$: $y = -x^2$.

Теперь решим систему уравнений, приравняв выражения для $y$:

$-x^2 = -2x - 3$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=1$, $b=-2$, $c=-3$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Так как $D > 0$, существует две точки пересечения. Найдем их абсциссы:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$

Найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение $y = -x^2$:

При $x_1 = 3$, $y_1 = -(3^2) = -9$. Координаты первой точки: $(3, -9)$.

При $x_2 = -1$, $y_2 = -(-1)^2 = -1$. Координаты второй точки: $(-1, -1)$.

Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(3, -9)$ и $(-1, -1)$.

г) $y - x^2 = 0$ и $y = -x - 5$

Приведем уравнение параболы к стандартному виду: $y = x^2$.

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти общие точки:

$x^2 = -x - 5$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + x + 5 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=1$, $b=1$, $c=5$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19$

Поскольку $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, а значит, парабола и прямая не пересекаются.

Ответ: Нет, не пересекаются.

657 Решите систему уравнений:

a) $$\begin{cases} \frac{y}{5} + \frac{x+y}{3} = -2 \\ \frac{2x-y}{3} = \frac{3x}{4} + \frac{3}{2} \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} \frac{2x}{3} = \frac{x+y}{2} - \frac{5}{2} \\ 2x + \frac{3y}{2} = 0 \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = x - y \\ 2(x+y) - 2(x-y) - 3 = 2x + y \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} 3(x-y) - 2(x+y) = 2x - 2y \\ \frac{x-y}{3} - \frac{x+y}{2} = \frac{x}{6} + 1 \end{cases}$$

а)
Исходная система:
$ \begin{cases} \frac{y}{5} + \frac{x+y}{3} = -2 \\ \frac{2x-y}{3} = \frac{3x}{4} + \frac{3}{2} \end{cases} $
Упростим каждое уравнение, избавившись от знаменателей.
Первое уравнение умножим на 15 (наименьшее общее кратное для 5 и 3):
$15 \cdot \frac{y}{5} + 15 \cdot \frac{x+y}{3} = 15 \cdot (-2)$
$3y + 5(x+y) = -30$
$3y + 5x + 5y = -30$
$5x + 8y = -30$
Второе уравнение умножим на 12 (наименьшее общее кратное для 3, 4 и 2):
$12 \cdot \frac{2x-y}{3} = 12 \cdot \frac{3x}{4} + 12 \cdot \frac{3}{2}$
$4(2x-y) = 3(3x) + 6(3)$
$8x - 4y = 9x + 18$
$8x - 9x - 4y = 18$
$-x - 4y = 18$
Получили новую систему:
$ \begin{cases} 5x + 8y = -30 \\ -x - 4y = 18 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $x$:
$-x = 18 + 4y \implies x = -18 - 4y$
Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:
$5(-18 - 4y) + 8y = -30$
$-90 - 20y + 8y = -30$
$-12y = -30 + 90$
$-12y = 60$
$y = -5$
Теперь найдем $x$:
$x = -18 - 4(-5) = -18 + 20 = 2$
Ответ: $(2; -5)$

б)
Исходная система:
$ \begin{cases} \frac{2x}{3} = \frac{x+y}{2} - \frac{5}{2} \\ 2x + \frac{3y}{2} = 0 \end{cases} $
Упростим каждое уравнение.
Первое уравнение умножим на 6:
$6 \cdot \frac{2x}{3} = 6 \cdot \frac{x+y}{2} - 6 \cdot \frac{5}{2}$
$2(2x) = 3(x+y) - 3(5)$
$4x = 3x + 3y - 15$
$4x - 3x - 3y = -15$
$x - 3y = -15$
Второе уравнение умножим на 2:
$2(2x) + 2 \cdot \frac{3y}{2} = 2 \cdot 0$
$4x + 3y = 0$
Получили систему:
$ \begin{cases} x - 3y = -15 \\ 4x + 3y = 0 \end{cases} $
Сложим два уравнения, чтобы исключить $y$:
$(x - 3y) + (4x + 3y) = -15 + 0$
$5x = -15$
$x = -3$
Подставим значение $x$ во второе упрощенное уравнение:
$4(-3) + 3y = 0$
$-12 + 3y = 0$
$3y = 12$
$y = 4$
Ответ: $(-3; 4)$

в)
Исходная система:
$ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = x - y \\ 2(x+y) - 2(x-y) - 3 = 2x + y \end{cases} $
Упростим каждое уравнение.
Первое уравнение умножим на 6:
$6 \cdot \frac{x}{2} - 6 \cdot \frac{y}{3} = 6(x - y)$
$3x - 2y = 6x - 6y$
$3x - 6x - 2y + 6y = 0$
$-3x + 4y = 0$
Упростим второе уравнение, раскрыв скобки:
$2x + 2y - 2x + 2y - 3 = 2x + y$
$4y - 3 = 2x + y$
$4y - y - 2x = 3$
$3y - 2x = 3$ или $-2x + 3y = 3$
Получили систему:
$ \begin{cases} -3x + 4y = 0 \\ -2x + 3y = 3 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$:
$4y = 3x \implies y = \frac{3}{4}x$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$-2x + 3(\frac{3}{4}x) = 3$
$-2x + \frac{9}{4}x = 3$
Умножим на 4, чтобы избавиться от дроби:
$-8x + 9x = 12$
$x = 12$
Теперь найдем $y$:
$y = \frac{3}{4}(12) = 3 \cdot 3 = 9$
Ответ: $(12; 9)$

г)
Исходная система:
$ \begin{cases} 3(x-y) - 2(x+y) = 2x - 2y \\ \frac{x-y}{3} - \frac{x+y}{2} = \frac{x}{6} + 1 \end{cases} $
Упростим каждое уравнение.
Первое уравнение:
$3x - 3y - 2x - 2y = 2x - 2y$
$x - 5y = 2x - 2y$
$x - 2x - 5y + 2y = 0$
$-x - 3y = 0 \implies x = -3y$
Второе уравнение умножим на 6:
$6 \cdot \frac{x-y}{3} - 6 \cdot \frac{x+y}{2} = 6 \cdot \frac{x}{6} + 6 \cdot 1$
$2(x-y) - 3(x+y) = x + 6$
$2x - 2y - 3x - 3y = x + 6$
$-x - 5y = x + 6$
$-x - x - 5y = 6$
$-2x - 5y = 6$
Получили систему:
$ \begin{cases} x = -3y \\ -2x - 5y = 6 \end{cases} $
Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$-2(-3y) - 5y = 6$
$6y - 5y = 6$
$y = 6$
Теперь найдем $x$:
$x = -3(6) = -18$
Ответ: $(-18; 6)$

658 Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 \\ \frac{1}{x} + \frac{3}{y} = 7 \end{cases}$;

б) $\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{3}{y} = 1 \\ \frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 1 \end{cases}$;

в) $\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 5 \\ \frac{4}{x} - \frac{4}{y} = 4 \end{cases}$;

г) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 10 \\ \frac{1}{2x} - \frac{1}{2y} = 1 \end{cases}$.

Указание. Введите замену: $\frac{1}{x} = a, \frac{1}{y} = b$. Решив систему с переменными $a$ и $b$, найдите $x$ и $y$ из равенств $x = \frac{1}{a}, y = \frac{1}{b}$.

а) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 \\ \frac{1}{x} + \frac{3}{y} = 7 \end{cases} $
Следуя указанию, вводим замену переменных: пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$.
После замены система принимает вид:
$ \begin{cases} a + b = 2 \\ a + 3b = 7 \end{cases} $
Это система линейных уравнений. Для её решения вычтем первое уравнение из второго:
$(a + 3b) - (a + b) = 7 - 2$
$a + 3b - a - b = 5$
$2b = 5$
$b = \frac{5}{2} = 2.5$
Теперь подставим найденное значение $b$ в первое уравнение ($a + b = 2$):
$a + 2.5 = 2$
$a = 2 - 2.5 = -0.5$
Мы нашли значения $a$ и $b$. Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:
$x = \frac{1}{a} = \frac{1}{-0.5} = -2$
$y = \frac{1}{b} = \frac{1}{2.5} = \frac{1}{5/2} = \frac{2}{5} = 0.4$
Ответ: $x = -2, y = 0.4$.

б) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{3}{y} = 1 \\ \frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 1 \end{cases} $
Вводим замену: $a = \frac{1}{x}$, $b = \frac{1}{y}$.
Система для новых переменных:
$ \begin{cases} a - 3b = 1 \\ 3a - b = 1 \end{cases} $
Решим эту систему. Умножим первое уравнение на -3:
$-3(a - 3b) = -3 \cdot 1 \implies -3a + 9b = -3$
Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(-3a + 9b) + (3a - b) = -3 + 1$
$8b = -2$
$b = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$
Подставим значение $b$ в первое уравнение исходной системы для $a$ и $b$ ($a - 3b = 1$):
$a - 3(-\frac{1}{4}) = 1$
$a + \frac{3}{4} = 1$
$a = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
Выполним обратную замену:
$x = \frac{1}{a} = \frac{1}{1/4} = 4$
$y = \frac{1}{b} = \frac{1}{-1/4} = -4$
Ответ: $x = 4, y = -4$.

в) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 5 \\ \frac{4}{x} - \frac{4}{y} = 4 \end{cases} $
Вводим замену: $a = \frac{1}{x}$, $b = \frac{1}{y}$.
Система для новых переменных:
$ \begin{cases} 2a + b = 5 \\ 4a - 4b = 4 \end{cases} $
Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 4:
$a - b = 1$
Теперь решаем более простую систему:
$ \begin{cases} 2a + b = 5 \\ a - b = 1 \end{cases} $
Сложим два уравнения, чтобы исключить $b$:
$(2a + b) + (a - b) = 5 + 1$
$3a = 6$
$a = 2$
Подставим найденное значение $a$ в уравнение $a - b = 1$:
$2 - b = 1$
$b = 2 - 1 = 1$
Выполним обратную замену:
$x = \frac{1}{a} = \frac{1}{2}$
$y = \frac{1}{b} = \frac{1}{1} = 1$
Ответ: $x = \frac{1}{2}, y = 1$.

г) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 10 \\ \frac{1}{2x} - \frac{1}{2y} = 1 \end{cases} $
Вводим замену: $a = \frac{1}{x}$, $b = \frac{1}{y}$.
Система для новых переменных:
$ \begin{cases} a + b = 10 \\ \frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b = 1 \end{cases} $
Умножим второе уравнение на 2, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:
$2(\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b) = 2 \cdot 1 \implies a - b = 2$
Получаем систему:
$ \begin{cases} a + b = 10 \\ a - b = 2 \end{cases} $
Сложим два уравнения:
$(a + b) + (a - b) = 10 + 2$
$2a = 12$
$a = 6$
Подставим значение $a$ в первое уравнение ($a + b = 10$):
$6 + b = 10$
$b = 10 - 6 = 4$
Выполним обратную замену:
$x = \frac{1}{a} = \frac{1}{6}$
$y = \frac{1}{b} = \frac{1}{4}$
Ответ: $x = \frac{1}{6}, y = \frac{1}{4}$.

659 Решите систему способом подстановки:

а) $\begin{cases} x = 30z \\ y = 40z \\ x + y = 210 \end{cases}$

б) $\begin{cases} m = 4p \\ n = -5p \\ m + 4n = 40 \end{cases}$

в) $\begin{cases} a = c + 1 \\ b = 2c - 1 \\ a - b = 3 \end{cases}$

г) $\begin{cases} s = 2v - 3 \\ u = v - 5 \\ 2s - 3u = 10 \end{cases}$

а)Для решения системы уравнений $ \begin{cases} x = 30z \\ y = 40z \\ x + y = 210 \end{cases} $ используем метод подстановки.
Подставим выражения для $x$ и $y$ из первых двух уравнений в третье:
$30z + 40z = 210$
Упростим и решим полученное уравнение:
$70z = 210$
$z = \frac{210}{70}$
$z = 3$
Теперь, зная значение $z$, найдем $x$ и $y$, подставив $z=3$ в первые два уравнения:
$x = 30 \cdot 3 = 90$
$y = 40 \cdot 3 = 120$
Ответ: $x = 90, y = 120, z = 3$.

б)Для решения системы уравнений $ \begin{cases} m = 4p \\ n = -5p \\ m + 4n = 40 \end{cases} $ подставим выражения для $m$ и $n$ в третье уравнение.
$(4p) + 4(-5p) = 40$
Решим полученное уравнение:
$4p - 20p = 40$
$-16p = 40$
$p = \frac{40}{-16} = -\frac{5}{2} = -2.5$
Теперь найдем значения $m$ и $n$, подставив $p=-2.5$ в первые два уравнения:
$m = 4 \cdot (-2.5) = -10$
$n = -5 \cdot (-2.5) = 12.5$
Ответ: $m = -10, n = 12.5, p = -2.5$.

в)Для решения системы уравнений $ \begin{cases} a = c + 1 \\ b = 2c - 1 \\ a - b = 3 \end{cases} $ подставим выражения для $a$ и $b$ в третье уравнение.
$(c + 1) - (2c - 1) = 3$
Раскроем скобки и решим уравнение:
$c + 1 - 2c + 1 = 3$
$-c + 2 = 3$
$-c = 3 - 2$
$-c = 1$
$c = -1$
Теперь найдем значения $a$ и $b$, подставив $c=-1$ в первые два уравнения:
$a = (-1) + 1 = 0$
$b = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3$
Ответ: $a = 0, b = -3, c = -1$.

г)Для решения системы уравнений $ \begin{cases} s = 2v - 3 \\ u = v - 5 \\ 2s - 3u = 10 \end{cases} $ подставим выражения для $s$ и $u$ в третье уравнение.
$2(2v - 3) - 3(v - 5) = 10$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$4v - 6 - 3v + 15 = 10$
$v + 9 = 10$
$v = 10 - 9$
$v = 1$
Теперь найдем значения $s$ и $u$, подставив $v=1$ в первые два уравнения:
$s = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$
$u = 1 - 5 = -4$
Ответ: $s = -1, u = -4, v = 1$.