Страница 195 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

634 На рисунке 4.32 изображены прямые, проходящие через точку (2; 4). Какие системы двух уравнений с двумя переменными, имеющие решением пару чисел (2; 4), можно составить по этому рисунку? Запишите их все.

Рис. 4.32

Задача 634

Решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными является точка пересечения их графиков. На рисунке 4.32 показаны четыре прямые, которые все пересекаются в одной точке с координатами $(2; 4)$. Это означает, что пара чисел $(2; 4)$ является решением для каждого из четырех уравнений, графики которых изображены на рисунке.

Уравнения этих прямых:

• $x - y = -2$
• $x + y = 6$
• $2x - y = 0$
• $6x - y = 8$

Проверим, что точка $(2; 4)$ действительно удовлетворяет каждому уравнению:

• Для $x - y = -2$: $2 - 4 = -2$ (верно).
• Для $x + y = 6$: $2 + 4 = 6$ (верно).
• Для $2x - y = 0$: $2 \cdot 2 - 4 = 4 - 4 = 0$ (верно).
• Для $6x - y = 8$: $6 \cdot 2 - 4 = 12 - 4 = 8$ (верно).

Систему уравнений, имеющую решением пару чисел $(2; 4)$, можно составить, взяв любую пару из этих четырех уравнений. Число таких комбинаций равно $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6$.

Ответ: можно составить 6 систем уравнений. Вот они:

1. $ \begin{cases} x - y = -2, \\ x + y = 6 \end{cases} $

2. $ \begin{cases} x - y = -2, \\ 2x - y = 0 \end{cases} $

3. $ \begin{cases} x - y = -2, \\ 6x - y = 8 \end{cases} $

4. $ \begin{cases} x + y = 6, \\ 2x - y = 0 \end{cases} $

5. $ \begin{cases} x + y = 6, \\ 6x - y = 8 \end{cases} $

6. $ \begin{cases} 2x - y = 0, \\ 6x - y = 8 \end{cases} $

Задача 635

Чтобы проверить, является ли пара чисел $(2; 8)$ решением системы, нужно подставить значения $x=2$ и $y=8$ в каждое уравнение системы. Если оба уравнения превратятся в верные числовые равенства, то пара является решением.

а) Проверим систему $ \begin{cases} 10x - y = 12 \\ x - y = 6 \end{cases} $ для пары чисел $(2; 8)$.

Подставим $x=2$ и $y=8$ в первое уравнение:
$10 \cdot 2 - 8 = 20 - 8 = 12$.
Получили $12 = 12$. Это верное равенство.

Подставим $x=2$ и $y=8$ во второе уравнение:
$2 - 8 = -6$.
Получили $-6 = 6$. Это неверное равенство.

Так как пара чисел $(2; 8)$ не удовлетворяет второму уравнению, она не является решением системы.
Ответ: нет.

в) Проверим систему $ \begin{cases} 3x + y = 14 \\ x + 2y = 18 \end{cases} $ для пары чисел $(2; 8)$.

Подставим $x=2$ и $y=8$ в первое уравнение:
$3 \cdot 2 + 8 = 6 + 8 = 14$.
Получили $14 = 14$. Это верное равенство.

Подставим $x=2$ и $y=8$ во второе уравнение:
$2 + 2 \cdot 8 = 2 + 16 = 18$.
Получили $18 = 18$. Это верное равенство.

Так как пара чисел $(2; 8)$ удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением системы.
Ответ: да.

635 Является ли пара чисел (2; 8) решением системы уравнений:

a) $\begin{cases} 10x - y = 12 \\ x - y = 6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 7x - 2y = -2 \\ y - x = 6; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3x + y = 14 \\ x + 2y = 18? \end{cases}$

Для того чтобы проверить, является ли пара чисел $(2; 8)$ решением системы уравнений, необходимо подставить значения $x=2$ и $y=8$ в каждое уравнение системы. Пара чисел является решением, если она удовлетворяет каждому уравнению системы.

а)

Проверим систему уравнений:

$ \begin{cases} 10x - y = 12 \\ x - y = 6 \end{cases} $

Подставляем $x=2$ и $y=8$ в первое уравнение:

$10 \cdot 2 - 8 = 20 - 8 = 12$

Получаем $12 = 12$. Равенство верное.

Подставляем $x=2$ и $y=8$ во второе уравнение:

$2 - 8 = -6$

Получаем $-6 = 6$. Равенство неверное.

Так как пара чисел $(2; 8)$ не удовлетворяет второму уравнению, она не является решением данной системы.

Ответ: нет

б)

Проверим систему уравнений:

$ \begin{cases} 7x - 2y = -2 \\ y - x = 6 \end{cases} $

Подставляем $x=2$ и $y=8$ в первое уравнение:

$7 \cdot 2 - 2 \cdot 8 = 14 - 16 = -2$

Получаем $-2 = -2$. Равенство верное.

Подставляем $x=2$ и $y=8$ во второе уравнение:

$8 - 2 = 6$

Получаем $6 = 6$. Равенство верное.

Так как пара чисел $(2; 8)$ удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением данной системы.

Ответ: да

в)

Проверим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x + y = 14 \\ x + 2y = 18 \end{cases} $

Подставляем $x=2$ и $y=8$ в первое уравнение:

$3 \cdot 2 + 8 = 6 + 8 = 14$

Получаем $14 = 14$. Равенство верное.

Подставляем $x=2$ и $y=8$ во второе уравнение:

$2 + 2 \cdot 8 = 2 + 16 = 18$

Получаем $18 = 18$. Равенство верное.

Так как пара чисел $(2; 8)$ удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением данной системы.

Ответ: да

ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ (636-637)

636 Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases}x + y = 15 \\x - y = 9;\end{cases}$

б) $\begin{cases}x + 3y = 18 \\2x - 3y = 3;\end{cases}$

в) $\begin{cases}5x - 2y = 0,1 \\-5x - 4y = 0,5;\end{cases}$

г) $\begin{cases}2x + y = 5,4 \\x + y = 6,4;\end{cases}$

д) $\begin{cases}x + 2y = -25 \\3x + 2y = -5;\end{cases}$

е) $\begin{cases}2x - 3y = 5 \\5x - 3y = 11.\end{cases}$

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 15 \\ x - y = 9 \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ противоположны. Сложим почленно левые и правые части уравнений:

$(x + y) + (x - y) = 15 + 9$

$2x = 24$

$x = \frac{24}{2}$

$x = 12$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$12 + y = 15$

$y = 15 - 12$

$y = 3$

Проверим, подставив значения во второе уравнение: $12 - 3 = 9$. Верно.

Ответ: $(12; 3)$

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + 3y = 18 \\ 2x - 3y = 3 \end{cases} $

Используем метод сложения, так как коэффициенты при $y$ являются противоположными числами. Сложим уравнения:

$(x + 3y) + (2x - 3y) = 18 + 3$

$3x = 21$

$x = \frac{21}{3}$

$x = 7$

Подставим значение $x$ в первое уравнение системы:

$7 + 3y = 18$

$3y = 18 - 7$

$3y = 11$

$y = \frac{11}{3}$

Проверим, подставив значения во второе уравнение: $2(7) - 3(\frac{11}{3}) = 14 - 11 = 3$. Верно.

Ответ: $(7; \frac{11}{3})$

в)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 5x - 2y = 0,1 \\ -5x - 4y = 0,5 \end{cases} $

Коэффициенты при $x$ противоположны, поэтому применим метод сложения. Сложим уравнения:

$(5x - 2y) + (-5x - 4y) = 0,1 + 0,5$

$-6y = 0,6$

$y = \frac{0,6}{-6}$

$y = -0,1$

Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение:

$5x - 2(-0,1) = 0,1$

$5x + 0,2 = 0,1$

$5x = 0,1 - 0,2$

$5x = -0,1$

$x = \frac{-0,1}{5}$

$x = -0,02$

Проверим, подставив значения во второе уравнение: $-5(-0,02) - 4(-0,1) = 0,1 + 0,4 = 0,5$. Верно.

Ответ: $(-0,02; -0,1)$

г)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x + y = 5,4 \\ x + y = 6,4 \end{cases} $

Коэффициенты при $y$ одинаковы, поэтому используем метод вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(2x + y) - (x + y) = 5,4 - 6,4$

$x = -1$

Подставим значение $x$ во второе уравнение системы:

$-1 + y = 6,4$

$y = 6,4 + 1$

$y = 7,4$

Проверим, подставив значения в первое уравнение: $2(-1) + 7,4 = -2 + 7,4 = 5,4$. Верно.

Ответ: $(-1; 7,4)$

д)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + 2y = -25 \\ 3x + 2y = -5 \end{cases} $

Коэффициенты при $y$ равны, поэтому применим метод вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:

$(3x + 2y) - (x + 2y) = -5 - (-25)$

$2x = -5 + 25$

$2x = 20$

$x = 10$

Подставим $x=10$ в первое уравнение:

$10 + 2y = -25$

$2y = -25 - 10$

$2y = -35$

$y = -\frac{35}{2}$

$y = -17,5$

Проверим, подставив значения во второе уравнение: $3(10) + 2(-17,5) = 30 - 35 = -5$. Верно.

Ответ: $(10; -17,5)$

е)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x - 3y = 5 \\ 5x - 3y = 11 \end{cases} $

Так как коэффициенты при $y$ одинаковы, вычтем первое уравнение из второго:

$(5x - 3y) - (2x - 3y) = 11 - 5$

$3x = 6$

$x = 2$

Подставим $x=2$ в первое уравнение:

$2(2) - 3y = 5$

$4 - 3y = 5$

$-3y = 5 - 4$

$-3y = 1$

$y = -\frac{1}{3}$

Проверим, подставив значения во второе уравнение: $5(2) - 3(-\frac{1}{3}) = 10 + 1 = 11$. Верно.

Ответ: $(2; -\frac{1}{3})$

637 Решите систему уравнений двумя способами, исключив в первом случае одну переменную, а во втором — другую:

a) $\begin{cases} 3x - 2y = 10 \\ 9x + 4y = 40; \end{cases}$

б) $\begin{cases} a + b = 5 \\ 3a - 5b = -1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} p - 4q = 2 \\ 3p - 2q = 16. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3x - 2y = 10 \\ 9x + 4y = 40 \end{cases}$

Способ 1: Исключение переменной y

Чтобы исключить переменную $y$, умножим первое уравнение на 2. Это позволит нам получить противоположные коэффициенты при $y$ ($-4y$ и $4y$).

$2 \cdot (3x - 2y) = 2 \cdot 10 \implies 6x - 4y = 20$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 6x - 4y = 20 \\ 9x + 4y = 40 \end{cases}$

Сложим два уравнения почленно:

$(6x - 4y) + (9x + 4y) = 20 + 40$

$15x = 60$

$x = \frac{60}{15} \implies x = 4$

Подставим найденное значение $x=4$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $y$:

$3(4) - 2y = 10$

$12 - 2y = 10$

$-2y = 10 - 12$

$-2y = -2 \implies y = 1$

Способ 2: Исключение переменной x

Чтобы исключить переменную $x$, умножим первое уравнение на -3. Это позволит нам получить противоположные коэффициенты при $x$ ($-9x$ и $9x$).

$-3 \cdot (3x - 2y) = -3 \cdot 10 \implies -9x + 6y = -30$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} -9x + 6y = -30 \\ 9x + 4y = 40 \end{cases}$

Сложим два уравнения почленно:

$(-9x + 6y) + (9x + 4y) = -30 + 40$

$10y = 10$

$y = 1$

Подставим найденное значение $y=1$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $x$:

$3x - 2(1) = 10$

$3x - 2 = 10$

$3x = 12 \implies x = 4$

Ответ: $(4; 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} a + b = 5 \\ 3a - 5b = -1 \end{cases}$

Способ 1: Исключение переменной b

Умножим первое уравнение на 5, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными ($5b$ и $-5b$).

$5 \cdot (a + b) = 5 \cdot 5 \implies 5a + 5b = 25$

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(5a + 5b) + (3a - 5b) = 25 - 1$

$8a = 24$

$a = 3$

Подставим $a=3$ в первое исходное уравнение:

$3 + b = 5 \implies b = 2$

Способ 2: Исключение переменной a

Умножим первое уравнение на -3, чтобы коэффициенты при $a$ стали противоположными ($-3a$ и $3a$).

$-3 \cdot (a + b) = -3 \cdot 5 \implies -3a - 3b = -15$

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(-3a - 3b) + (3a - 5b) = -15 - 1$

$-8b = -16$

$b = 2$

Подставим $b=2$ в первое исходное уравнение:

$a + 2 = 5 \implies a = 3$

Ответ: $(3; 2)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} p - 4q = 2 \\ 3p - 2q = 16 \end{cases}$

Способ 1: Исключение переменной p

Умножим первое уравнение на -3, чтобы коэффициенты при $p$ стали противоположными ($-3p$ и $3p$).

$-3 \cdot (p - 4q) = -3 \cdot 2 \implies -3p + 12q = -6$

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(-3p + 12q) + (3p - 2q) = -6 + 16$

$10q = 10$

$q = 1$

Подставим $q=1$ в первое исходное уравнение:

$p - 4(1) = 2$

$p - 4 = 2 \implies p = 6$

Способ 2: Исключение переменной q

Умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $q$ стали противоположными ($4q$ и $-4q$).

$-2 \cdot (3p - 2q) = -2 \cdot 16 \implies -6p + 4q = -32$

Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(p - 4q) + (-6p + 4q) = 2 - 32$

$-5p = -30$

$p = 6$

Подставим $p=6$ в первое исходное уравнение:

$6 - 4q = 2$

$-4q = 2 - 6$

$-4q = -4 \implies q = 1$

Ответ: $(6; 1)$.

638 a) Найдите два числа, сумма которых равна -1, а разность равна 5.

б) Найдите два числа, если известно, что их сумма равна 283 и одно из них на 75 больше другого.

а)

Пусть первое число будет $x$, а второе — $y$. Исходя из условия задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

1. Сумма чисел равна -1: $x + y = -1$

2. Разность чисел равна 5: $x - y = 5$

Чтобы решить эту систему, можно сложить оба уравнения. Это позволит нам исключить переменную $y$:

$(x + y) + (x - y) = -1 + 5$

$2x = 4$

$x = \frac{4}{2}$

$x = 2$

Теперь, зная значение $x$, подставим его в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$2 + y = -1$

$y = -1 - 2$

$y = -3$

Проверим, удовлетворяют ли найденные числа второму условию (разность равна 5):

$2 - (-3) = 2 + 3 = 5$. Условие выполняется.

Ответ: 2 и -3.

б)

Пусть меньшее число — это $x$, тогда большее число будет $x + 75$, так как оно на 75 больше другого. Мы знаем, что их сумма равна 283. Составим уравнение:

$x + (x + 75) = 283$

Теперь решим это уравнение:

$2x + 75 = 283$

$2x = 283 - 75$

$2x = 208$

$x = \frac{208}{2}$

$x = 104$

Мы нашли меньшее число. Теперь найдем большее число:

$104 + 75 = 179$

Проверим сумму найденных чисел: $104 + 179 = 283$. Условие выполняется.

Ответ: 104 и 179.

Решите систему уравнений (639–640).

639 a) $\begin{cases} 2x - 5y = 0 \\ 6x + y = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5x + y = 30 \\ 3x - 4y = 41; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3a - 2b = 5 \\ a - 4b = 6; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3u - 4v = 2 \\ 9u - 5v = 7; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 6m - 9n = -4 \\ 2m + 5n = 4; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 5y + 8z = 21 \\ 10y - 3z = -15. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 5y = 0 \\ 6x + y = 0 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим y через x:

$y = -6x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2x - 5(-6x) = 0$

$2x + 30x = 0$

$32x = 0$

$x = 0$

Теперь найдем значение y, подставив найденное значение x:

$y = -6 \cdot 0 = 0$

Решением системы является пара чисел $(0; 0)$.

Ответ: $(0; 0)$

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5x + y = 30 \\ 3x - 4y = 41 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим y через x:

$y = 30 - 5x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3x - 4(30 - 5x) = 41$

$3x - 120 + 20x = 41$

$23x = 41 + 120$

$23x = 161$

$x = 161 / 23 = 7$

Теперь найдем значение y, подставив найденное значение x:

$y = 30 - 5 \cdot 7 = 30 - 35 = -5$

Решением системы является пара чисел $(7; -5)$.

Ответ: $(7; -5)$

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3a - 2b = 5 \\ a - 4b = 6 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим a через b:

$a = 6 + 4b$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3(6 + 4b) - 2b = 5$

$18 + 12b - 2b = 5$

$10b = 5 - 18$

$10b = -13$

$b = -1.3$

Теперь найдем значение a:

$a = 6 + 4(-1.3) = 6 - 5.2 = 0.8$

Решением системы является пара чисел $(0.8; -1.3)$.

Ответ: $(0.8; -1.3)$

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3u - 4v = 2 \\ 9u - 5v = 7 \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на -3, чтобы коэффициенты при u стали противоположными числами:

$-3(3u - 4v) = -3 \cdot 2 \implies -9u + 12v = -6$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(-9u + 12v) + (9u - 5v) = -6 + 7$

$7v = 1$

$v = 1/7$

Подставим найденное значение v в первое исходное уравнение:

$3u - 4(1/7) = 2$

$3u - 4/7 = 2$

$3u = 2 + 4/7$

$3u = 14/7 + 4/7 = 18/7$

$u = \frac{18}{7} \div 3 = \frac{18}{7 \cdot 3} = \frac{6}{7}$

Решением системы является пара чисел $(6/7; 1/7)$.

Ответ: $(6/7; 1/7)$

д)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 6m - 9n = -4 \\ 2m + 5n = 4 \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на -3:

$-3(2m + 5n) = -3 \cdot 4 \implies -6m - 15n = -12$

Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(6m - 9n) + (-6m - 15n) = -4 + (-12)$

$-24n = -16$

$n = -16 / -24 = 16/24 = 2/3$

Подставим найденное значение n во второе исходное уравнение:

$2m + 5(2/3) = 4$

$2m + 10/3 = 4$

$2m = 4 - 10/3$

$2m = 12/3 - 10/3 = 2/3$

$m = \frac{2}{3} \div 2 = \frac{2}{3 \cdot 2} = 1/3$

Решением системы является пара чисел $(1/3; 2/3)$.

Ответ: $(1/3; 2/3)$

е)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5y + 8z = 21 \\ 10y - 3z = -15 \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на -2:

$-2(5y + 8z) = -2 \cdot 21 \implies -10y - 16z = -42$

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(-10y - 16z) + (10y - 3z) = -42 + (-15)$

$-19z = -57$

$z = -57 / -19 = 3$

Подставим найденное значение z в первое исходное уравнение:

$5y + 8(3) = 21$

$5y + 24 = 21$

$5y = 21 - 24$

$5y = -3$

$y = -3/5$

Решением системы является пара чисел $(-3/5; 3)$.

Ответ: $(-3/5; 3)$