Страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Как решают систему двух уравнений с двумя переменными способом сложения (фрагмент 2)? Какими могут быть первые шаги в решении систем $\begin{cases} 4x + y = -2 \\ 3x - y = -1 \end{cases}$ и $\begin{cases} 2x + 4y = 2 \\ 2x - 5y = 20 \end{cases}$?

Метод сложения для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными заключается в том, чтобы преобразовать уравнения системы так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами, а затем сложить эти уравнения. В результате получается одно уравнение с одной переменной, которое легко решить.

Алгоритм решения системы уравнений методом сложения:

1. При необходимости умножить одно или оба уравнения системы на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами (например, $3x$ и $-3x$).
2. Сложить левые и правые части уравнений системы.
3. Решить получившееся уравнение с одной переменной.
4. Подставить найденное значение переменной в любое из исходных уравнений и найти значение второй переменной.
5. Записать ответ.

Рассмотрим, какими могут быть первые шаги при решении данных систем этим методом.

Для системы $\begin{cases} 4x + y = -2 \\ 3x - y = -1 \end{cases}$

Первым шагом анализируем коэффициенты при переменных $x$ и $y$. В данной системе мы видим, что коэффициенты при переменной $y$ равны $1$ и $-1$. Они уже являются противоположными числами.

Следовательно, нет необходимости умножать уравнения на какие-либо числа. Первый шаг в решении — это сложить два уравнения почленно, чтобы исключить переменную $y$.

$(4x + y) + (3x - y) = -2 + (-1)$

$7x = -3$

После этого шага мы получаем простое уравнение с одной переменной $x$, из которого можем найти ее значение.

Ответ: Первым шагом является сложение уравнений системы, так как коэффициенты при переменной $y$ уже являются противоположными числами ($1$ и $-1$).

Для системы $\begin{cases} 2x + 4y = 2 \\ 2x - 5y = 20 \end{cases}$

Анализируем коэффициенты в этой системе. Коэффициенты при переменной $x$ в обоих уравнениях одинаковы и равны $2$. Чтобы их можно было сократить при сложении, один из них должен стать $-2$.

Следовательно, первый шаг — это умножить одно из уравнений на $-1$. Например, умножим второе уравнение на $-1$:

$\begin{cases} 2x + 4y = 2 \\ -1 \cdot (2x - 5y) = -1 \cdot 20 \end{cases}$

Система примет вид:

$\begin{cases} 2x + 4y = 2 \\ -2x + 5y = -20 \end{cases}$

Теперь коэффициенты при $x$ стали противоположными ($2$ и $-2$), и следующим действием будет сложение уравнений:

$(2x + 4y) + (-2x + 5y) = 2 + (-20)$

$9y = -18$

Заметим, что умножение на $-1$ и последующее сложение эквивалентно вычитанию одного уравнения из другого.

Ответ: Первым шагом является умножение одного из уравнений (например, второго) на $-1$, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными. Альтернативно, можно вычесть второе уравнение из первого.

Какие вы можете предложить способы решения задачи: «Определите коор-динаты точки пересечения прямых $x + 2y = 8$ и $x - y = 4$»?

Решите задачу каждым из них. Одинаковы ли полученные результаты?

Для определения координат точки пересечения прямых, заданных уравнениями $x + 2y = 8$ и $x - y = 4$, необходимо решить систему линейных уравнений. Эту задачу можно решить несколькими способами, например: графическим, методом подстановки и методом алгебраического сложения.

Графический способ

Этот способ заключается в построении графиков обеих прямых в одной системе координат и нахождении точки их пересечения.
Сначала приведем уравнения к виду функции $y = kx + b$:
Для первого уравнения: $x + 2y = 8 \implies 2y = -x + 8 \implies y = -0.5x + 4$.
Для второго уравнения: $x - y = 4 \implies -y = -x + 4 \implies y = x - 4$.
Теперь построим графики этих функций. Для каждой прямой найдем по две точки:
Для прямой $y = -0.5x + 4$:
- если $x = 0$, то $y = 4$. Получаем точку $(0, 4)$.
- если $y = 0$, то $0 = -0.5x + 4 \implies x=8$. Получаем точку $(8, 0)$.
Для прямой $y = x - 4$:
- если $x = 0$, то $y = -4$. Получаем точку $(0, -4)$.
- если $y = 0$, то $x = 4$. Получаем точку $(4, 0)$.
Построив эти прямые на координатной плоскости, мы найдем точку их пересечения. Координаты этой точки и будут решением системы. В данном случае, точное считывание координат с графика может быть затруднено, так как они являются дробными числами. Однако, этот метод наглядно демонстрирует геометрический смысл решения системы.
Ответ: Координаты точки пересечения $(\frac{16}{3}, \frac{4}{3})$.

Способ подстановки

Этот алгебраический метод заключается в выражении одной переменной через другую из одного уравнения и подстановке этого выражения в другое уравнение.
Исходная система: $ \begin{cases} x + 2y = 8 \\ x - y = 4 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим переменную $x$:
$x = y + 4$
Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:
$(y + 4) + 2y = 8$
Решим полученное уравнение относительно $y$:
$3y + 4 = 8$
$3y = 8 - 4$
$3y = 4$
$y = \frac{4}{3}$
Теперь подставим найденное значение $y$ в выражение для $x$:
$x = \frac{4}{3} + 4 = \frac{4}{3} + \frac{12}{3} = \frac{16}{3}$
Ответ: Координаты точки пересечения $(\frac{16}{3}, \frac{4}{3})$.

Способ сложения

Этот алгебраический метод заключается в сложении или вычитании уравнений системы с целью исключения одной из переменных.
Исходная система:
$ \begin{cases} x + 2y = 8 \\ x - y = 4 \end{cases} $
Чтобы исключить переменную $x$, вычтем второе уравнение из первого:
$(x + 2y) - (x - y) = 8 - 4$
$x + 2y - x + y = 4$
$3y = 4$
$y = \frac{4}{3}$
Теперь подставим найденное значение $y$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$x - \frac{4}{3} = 4$
$x = 4 + \frac{4}{3} = \frac{12}{3} + \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$
Ответ: Координаты точки пересечения $(\frac{16}{3}, \frac{4}{3})$.

Сравнивая результаты, полученные каждым из способов, можно сделать вывод, что все они приводят к одному и тому же ответу. Алгебраические методы (подстановки и сложения) дают точный результат, в то время как графический метод позволяет визуализировать решение, но его точность зависит от аккуратности построений. Таким образом, полученные результаты одинаковы.

Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными (фрагмент 3)? Найдите в учебнике соответствующие примеры.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными, имеющая общий вид:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

может иметь три варианта числа решений. Это определяется взаимным расположением графиков данных уравнений, которые представляют собой прямые линии на координатной плоскости.

1. Система имеет одно решение

Такой случай имеет место, когда графики уравнений (прямые) пересекаются в одной-единственной точке. Координаты этой точки и являются уникальным решением системы.

С точки зрения алгебры, это означает, что угловые коэффициенты прямых не равны. Для коэффициентов системы это условие можно записать в виде неравенства отношений:

$ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $

Пример:

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = -1 \end{cases} $

Проверим соотношение коэффициентов при переменных: $ a_1=2, b_1=1, a_2=1, b_2=-3 $.

$ \frac{2}{1} \neq \frac{1}{-3} $ (то есть $2 \neq -1/3$). Условие выполняется, следовательно, система имеет одно решение.

Для нахождения решения выразим $x$ из второго уравнения: $ x = 3y - 1 $.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$ 2(3y - 1) + y = 5 $

$ 6y - 2 + y = 5 $

$ 7y = 7 $

$ y = 1 $

Теперь найдем соответствующее значение $x$: $ x = 3(1) - 1 = 2 $.

Единственным решением системы является пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: Система может иметь одно-единственное решение.

2. Система не имеет решений

Это происходит, когда графики уравнений (прямые) параллельны друг другу и не совпадают. Поскольку параллельные прямые никогда не пересекаются, у системы нет общих точек, а значит, нет и решений.

Алгебраически это означает, что угловые коэффициенты прямых равны, но их смещения (определяемые свободными членами) различны. Условие для коэффициентов выглядит следующим образом:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $

Пример:

Рассмотрим систему:

$ \begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ 6x - 4y = 10 \end{cases} $

Проверим соотношения коэффициентов: $ a_1=3, b_1=-2, c_1=4 $ и $ a_2=6, b_2=-4, c_2=10 $.

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $

$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} $

$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $

Поскольку $ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{2}{5} $, условие выполняется, и система не имеет решений.

Если мы попытаемся решить эту систему, умножив первое уравнение на 2, то получим:

$ \begin{cases} 6x - 4y = 8 \\ 6x - 4y = 10 \end{cases} $

Вычитая второе уравнение из первого, мы приходим к противоречию: $ 0 = -2 $. Это неверное равенство доказывает, что решений нет.

Ответ: Система может не иметь решений.

3. Система имеет бесконечно много решений

Такая ситуация возникает, когда графики уравнений (прямые) полностью совпадают. В этом случае каждая точка одной прямой также является точкой другой прямой, а значит, любая точка на этой общей прямой является решением системы.

Алгебраически это означает, что одно уравнение системы можно получить из другого путем умножения на некоторое число. Все коэффициенты уравнений пропорциональны:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $

Пример:

Рассмотрим систему:

$ \begin{cases} x + 5y = 3 \\ 2x + 10y = 6 \end{cases} $

Проверим соотношения коэффициентов: $ a_1=1, b_1=5, c_1=3 $ и $ a_2=2, b_2=10, c_2=6 $.

$ \frac{1}{2} = \frac{5}{10} = \frac{3}{6} $

Все три отношения равны $ \frac{1}{2} $, что означает, что второе уравнение является просто первым, умноженным на 2. Графики этих уравнений совпадают.

Любая пара чисел $(x, y)$, которая удовлетворяет первому уравнению, будет также удовлетворять и второму. Множество решений можно выразить, задав одну переменную через другую. Например, из первого уравнения выразим $x$: $ x = 3 - 5y $.

Все решения системы можно записать в виде пар $ (3 - 5t, t) $, где $t$ – любое действительное число.

Ответ: Система может иметь бесконечно много решений.

Таким образом, в зависимости от коэффициентов, система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь одно решение, не иметь решений или иметь бесконечно много решений.

633 На рисунке 4.31, а–г приведены геометрические иллюстрации систем линейных уравнений. Запишите каждую систему и

а) $x - y = 1$

$3x + 2y = 18$

в) $x - y = 4$

$x + y = 0$

б) $x - y = -1$

$2x + y = 4$

г) $x - y = -2$

$x + 3y = -2$

Рис. 4.31

определите с помощью графиков её решение; сделайте проверку, подставив найденные значения $x$ и $y$ в уравнения системы.

а)

Система уравнений, представленная на графике:

Решением системы является точка пересечения графиков. По графику определяем координаты точки пересечения: $(4, 3)$.

Проверка: подставим $x=4$ и $y=3$ в уравнения системы.

Для первого уравнения: $4 - 3 = 1$. Равенство $1=1$ верное.
Для второго уравнения: $3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 12 + 6 = 18$. Равенство $18=18$ верное.

Ответ: $(4, 3)$.

в)

Система уравнений, представленная на графике:

Решением системы является точка пересечения графиков. По графику определяем координаты точки пересечения: $(2, -2)$.

Проверка: подставим $x=2$ и $y=-2$ в уравнения системы.

Для первого уравнения: $2 - (-2) = 2 + 2 = 4$. Равенство $4=4$ верное.
Для второго уравнения: $2 + (-2) = 0$. Равенство $0=0$ верное.

Ответ: $(2, -2)$.

б)

Система уравнений, представленная на графике:

Решением системы является точка пересечения графиков. По графику определяем координаты точки пересечения: $(1, 2)$.

Проверка: подставим $x=1$ и $y=2$ в уравнения системы.

Для первого уравнения: $1 - 2 = -1$. Равенство $-1=-1$ верное.
Для второго уравнения: $2 \cdot 1 + 2 = 2 + 2 = 4$. Равенство $4=4$ верное.

Ответ: $(1, 2)$.

г)

Система уравнений, представленная на графике:

Решением системы является точка пересечения графиков. По графику определяем координаты точки пересечения: $(-2, 0)$.

Проверка: подставим $x=-2$ и $y=0$ в уравнения системы.

Для первого уравнения: $-2 - 0 = -2$. Равенство $-2=-2$ верное.
Для второго уравнения: $-2 + 3 \cdot 0 = -2 + 0 = -2$. Равенство $-2=-2$ верное.

Ответ: $(-2, 0)$.