Номер 5, страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 4. Системы уравнений - номер 5, страница 194.

Условие.

Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными (фрагмент 3)? Найдите в учебнике соответствующие примеры.

Решение 3.

Решение 4.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными, имеющая общий вид:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

может иметь три варианта числа решений. Это определяется взаимным расположением графиков данных уравнений, которые представляют собой прямые линии на координатной плоскости.

1. Система имеет одно решение

Такой случай имеет место, когда графики уравнений (прямые) пересекаются в одной-единственной точке. Координаты этой точки и являются уникальным решением системы.

С точки зрения алгебры, это означает, что угловые коэффициенты прямых не равны. Для коэффициентов системы это условие можно записать в виде неравенства отношений:

$ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $

Пример:

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = -1 \end{cases} $

Проверим соотношение коэффициентов при переменных: $ a_1=2, b_1=1, a_2=1, b_2=-3 $.

$ \frac{2}{1} \neq \frac{1}{-3} $ (то есть $2 \neq -1/3$). Условие выполняется, следовательно, система имеет одно решение.

Для нахождения решения выразим $x$ из второго уравнения: $ x = 3y - 1 $.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$ 2(3y - 1) + y = 5 $

$ 6y - 2 + y = 5 $

$ 7y = 7 $

$ y = 1 $

Теперь найдем соответствующее значение $x$: $ x = 3(1) - 1 = 2 $.

Единственным решением системы является пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: Система может иметь одно-единственное решение.

2. Система не имеет решений

Это происходит, когда графики уравнений (прямые) параллельны друг другу и не совпадают. Поскольку параллельные прямые никогда не пересекаются, у системы нет общих точек, а значит, нет и решений.

Алгебраически это означает, что угловые коэффициенты прямых равны, но их смещения (определяемые свободными членами) различны. Условие для коэффициентов выглядит следующим образом:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $

Пример:

Рассмотрим систему:

$ \begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ 6x - 4y = 10 \end{cases} $

Проверим соотношения коэффициентов: $ a_1=3, b_1=-2, c_1=4 $ и $ a_2=6, b_2=-4, c_2=10 $.

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $

$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} $

$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $

Поскольку $ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{2}{5} $, условие выполняется, и система не имеет решений.

Если мы попытаемся решить эту систему, умножив первое уравнение на 2, то получим:

$ \begin{cases} 6x - 4y = 8 \\ 6x - 4y = 10 \end{cases} $

Вычитая второе уравнение из первого, мы приходим к противоречию: $ 0 = -2 $. Это неверное равенство доказывает, что решений нет.

Ответ: Система может не иметь решений.

3. Система имеет бесконечно много решений

Такая ситуация возникает, когда графики уравнений (прямые) полностью совпадают. В этом случае каждая точка одной прямой также является точкой другой прямой, а значит, любая точка на этой общей прямой является решением системы.

Алгебраически это означает, что одно уравнение системы можно получить из другого путем умножения на некоторое число. Все коэффициенты уравнений пропорциональны:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $

Пример:

Рассмотрим систему:

$ \begin{cases} x + 5y = 3 \\ 2x + 10y = 6 \end{cases} $

Проверим соотношения коэффициентов: $ a_1=1, b_1=5, c_1=3 $ и $ a_2=2, b_2=10, c_2=6 $.

$ \frac{1}{2} = \frac{5}{10} = \frac{3}{6} $

Все три отношения равны $ \frac{1}{2} $, что означает, что второе уравнение является просто первым, умноженным на 2. Графики этих уравнений совпадают.

Любая пара чисел $(x, y)$, которая удовлетворяет первому уравнению, будет также удовлетворять и второму. Множество решений можно выразить, задав одну переменную через другую. Например, из первого уравнения выразим $x$: $ x = 3 - 5y $.

Все решения системы можно записать в виде пар $ (3 - 5t, t) $, где $t$ – любое действительное число.

Ответ: Система может иметь бесконечно много решений.

Таким образом, в зависимости от коэффициентов, система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь одно решение, не иметь решений или иметь бесконечно много решений.