Номер 637, страница 195 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 4. Системы уравнений - номер 637, страница 195.

Условие.

637 Решите систему уравнений двумя способами, исключив в первом случае одну переменную, а во втором — другую:

a) $\begin{cases} 3x - 2y = 10 \\ 9x + 4y = 40; \end{cases}$

б) $\begin{cases} a + b = 5 \\ 3a - 5b = -1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} p - 4q = 2 \\ 3p - 2q = 16. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3x - 2y = 10 \\ 9x + 4y = 40 \end{cases}$

Способ 1: Исключение переменной y

Чтобы исключить переменную $y$, умножим первое уравнение на 2. Это позволит нам получить противоположные коэффициенты при $y$ ($-4y$ и $4y$).

$2 \cdot (3x - 2y) = 2 \cdot 10 \implies 6x - 4y = 20$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 6x - 4y = 20 \\ 9x + 4y = 40 \end{cases}$

Сложим два уравнения почленно:

$(6x - 4y) + (9x + 4y) = 20 + 40$

$15x = 60$

$x = \frac{60}{15} \implies x = 4$

Подставим найденное значение $x=4$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $y$:

$3(4) - 2y = 10$

$12 - 2y = 10$

$-2y = 10 - 12$

$-2y = -2 \implies y = 1$

Способ 2: Исключение переменной x

Чтобы исключить переменную $x$, умножим первое уравнение на -3. Это позволит нам получить противоположные коэффициенты при $x$ ($-9x$ и $9x$).

$-3 \cdot (3x - 2y) = -3 \cdot 10 \implies -9x + 6y = -30$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} -9x + 6y = -30 \\ 9x + 4y = 40 \end{cases}$

Сложим два уравнения почленно:

$(-9x + 6y) + (9x + 4y) = -30 + 40$

$10y = 10$

$y = 1$

Подставим найденное значение $y=1$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $x$:

$3x - 2(1) = 10$

$3x - 2 = 10$

$3x = 12 \implies x = 4$

Ответ: $(4; 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} a + b = 5 \\ 3a - 5b = -1 \end{cases}$

Способ 1: Исключение переменной b

Умножим первое уравнение на 5, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными ($5b$ и $-5b$).

$5 \cdot (a + b) = 5 \cdot 5 \implies 5a + 5b = 25$

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(5a + 5b) + (3a - 5b) = 25 - 1$

$8a = 24$

$a = 3$

Подставим $a=3$ в первое исходное уравнение:

$3 + b = 5 \implies b = 2$

Способ 2: Исключение переменной a

Умножим первое уравнение на -3, чтобы коэффициенты при $a$ стали противоположными ($-3a$ и $3a$).

$-3 \cdot (a + b) = -3 \cdot 5 \implies -3a - 3b = -15$

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(-3a - 3b) + (3a - 5b) = -15 - 1$

$-8b = -16$

$b = 2$

Подставим $b=2$ в первое исходное уравнение:

$a + 2 = 5 \implies a = 3$

Ответ: $(3; 2)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} p - 4q = 2 \\ 3p - 2q = 16 \end{cases}$

Способ 1: Исключение переменной p

Умножим первое уравнение на -3, чтобы коэффициенты при $p$ стали противоположными ($-3p$ и $3p$).

$-3 \cdot (p - 4q) = -3 \cdot 2 \implies -3p + 12q = -6$

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(-3p + 12q) + (3p - 2q) = -6 + 16$

$10q = 10$

$q = 1$

Подставим $q=1$ в первое исходное уравнение:

$p - 4(1) = 2$

$p - 4 = 2 \implies p = 6$

Способ 2: Исключение переменной q

Умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $q$ стали противоположными ($4q$ и $-4q$).

$-2 \cdot (3p - 2q) = -2 \cdot 16 \implies -6p + 4q = -32$

Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(p - 4q) + (-6p + 4q) = 2 - 32$

$-5p = -30$

$p = 6$

Подставим $p=6$ в первое исходное уравнение:

$6 - 4q = 2$

$-4q = 2 - 6$

$-4q = -4 \implies q = 1$

Ответ: $(6; 1)$.