Номер 643, страница 196 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 4. Системы уравнений - номер 643, страница 196.

Условие.

643 Используя графические соображения, установите, какая из данных систем уравнений имеет единственное решение.

1) $\begin{cases} 2x - y = 8 \\ y - 2x = -8 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x - 2y = 8 \\ y - x = 8 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x - 2y = 8 \\ 2x - y = 8 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы установить, какая из данных систем уравнений имеет единственное решение, используя графические соображения, необходимо проанализировать угловые коэффициенты прямых, которые являются графиками этих уравнений. Система двух линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямые пересекаются в одной точке, то есть когда их угловые коэффициенты различны. Приведем каждое уравнение к виду $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой.

1) Рассмотрим систему:
$\begin{cases} 2x - y = 8 \\ y - 2x = -8 \end{cases}$
Приведем первое уравнение к виду $y = kx + b$:
$2x - y = 8 \implies -y = -2x + 8 \implies y = 2x - 8$.
Угловой коэффициент первой прямой $k_1 = 2$.
Приведем второе уравнение к виду $y = kx + b$:
$y - 2x = -8 \implies y = 2x - 8$.
Угловой коэффициент второй прямой $k_2 = 2$.
Поскольку угловые коэффициенты и свободные члены совпадают ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), эти уравнения описывают одну и ту же прямую. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: система имеет бесконечно много решений.

2) Рассмотрим систему:
$\begin{cases} 2x - 2y = 8 \\ y - x = 8 \end{cases}$
Приведем первое уравнение к виду $y = kx + b$:
$2x - 2y = 8$, разделим на 2, получим $x - y = 4 \implies -y = -x + 4 \implies y = x - 4$.
Угловой коэффициент первой прямой $k_1 = 1$.
Приведем второе уравнение к виду $y = kx + b$:
$y - x = 8 \implies y = x + 8$.
Угловой коэффициент второй прямой $k_2 = 1$.
Поскольку угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($-4 \neq 8$), графики уравнений являются параллельными прямыми. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: система не имеет решений.

3) Рассмотрим систему:
$\begin{cases} x - 2y = 8 \\ 2x - y = 8 \end{cases}$
Приведем первое уравнение к виду $y = kx + b$:
$x - 2y = 8 \implies -2y = -x + 8 \implies y = \frac{1}{2}x - 4$.
Угловой коэффициент первой прямой $k_1 = \frac{1}{2}$.
Приведем второе уравнение к виду $y = kx + b$:
$2x - y = 8 \implies -y = -2x + 8 \implies y = 2x - 8$.
Угловой коэффициент второй прямой $k_2 = 2$.
Поскольку угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), графики уравнений пересекаются в одной точке. Следовательно, данная система имеет единственное решение.
Ответ: система имеет единственное решение.