Номер 644, страница 196 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 4. Системы уравнений - номер 644, страница 196.

Условие.

644 Известно, что одно из двух уравнений системы — это уравнение $y = 0,5x - 3$, а вторым уравнением может быть любое уравнение из следующих:

$2y - x = 0, x + 2y = 0, x - 2y = 6, 4y - 2x = 6,$
$4y + 2x = 6, 2y - x + 6 = 0.$

Используя графические представления, установите в каждом случае, имеет ли система решения, и если имеет, то сколько — одно или бесчисленное множество.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи мы будем использовать графический метод. Решением системы двух линейных уравнений является точка (или точки) пересечения их графиков. Графиком линейного уравнения является прямая. Взаимное расположение двух прямых на плоскости определяет количество решений системы:

• Если прямые пересекаются, система имеет одно единственное решение. Это происходит, когда угловые коэффициенты прямых различны.
• Если прямые параллельны и не совпадают, у них нет общих точек, и система не имеет решений. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны, а точки пересечения с осью Y различны.
• Если прямые совпадают, у них бесконечно много общих точек, и система имеет бесчисленное множество решений. Это происходит, когда и угловые коэффициенты, и точки пересечения с осью Y одинаковы.

Первое уравнение системы — $y = 0,5x - 3$. Это уравнение прямой в виде с угловым коэффициентом. Его угловой коэффициент $k_1 = 0,5$, а ордината точки пересечения с осью Y (свободный член) $b_1 = -3$.

Рассмотрим каждое из предложенных вторых уравнений, приводя их к виду $y = kx + b$ для сравнения.

$2y - x = 0$

Преобразуем второе уравнение, чтобы выразить $y$:
$2y = x$
$y = \frac{1}{2}x$
$y = 0,5x$
Угловой коэффициент этого уравнения $k_2 = 0,5$, а свободный член $b_2 = 0$.
Сравниваем с первым уравнением: $k_1 = k_2 = 0,5$, но $b_1 \neq b_2$ (поскольку $-3 \neq 0$).
Это означает, что прямые параллельны, но не совпадают. Следовательно, у них нет точек пересечения.
Ответ: система не имеет решений.

$x + 2y = 0$

Преобразуем второе уравнение:
$2y = -x$
$y = -\frac{1}{2}x$
$y = -0,5x$
Угловой коэффициент этого уравнения $k_2 = -0,5$.
Сравниваем с первым уравнением: $k_1 \neq k_2$ (поскольку $0,5 \neq -0,5$).
Так как угловые коэффициенты различны, прямые пересекаются в одной точке.
Ответ: система имеет одно решение.

$x - 2y = 6$

Преобразуем второе уравнение:
$-2y = -x + 6$
$y = \frac{-x + 6}{-2}$
$y = \frac{1}{2}x - 3$
$y = 0,5x - 3$
Угловой коэффициент $k_2 = 0,5$, свободный член $b_2 = -3$.
Сравниваем с первым уравнением: $k_1 = k_2 = 0,5$ и $b_1 = b_2 = -3$.
Оба уравнения описывают одну и ту же прямую.
Ответ: система имеет бесчисленное множество решений.

$4y - 2x = 6$

Преобразуем второе уравнение:
$4y = 2x + 6$
$y = \frac{2x + 6}{4}$
$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$
$y = 0,5x + 1,5$
Угловой коэффициент $k_2 = 0,5$, свободный член $b_2 = 1,5$.
Сравниваем с первым уравнением: $k_1 = k_2 = 0,5$, но $b_1 \neq b_2$ (поскольку $-3 \neq 1,5$).
Прямые параллельны и не совпадают.
Ответ: система не имеет решений.

$4y + 2x = 6$

Преобразуем второе уравнение:
$4y = -2x + 6$
$y = \frac{-2x + 6}{4}$
$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$
$y = -0,5x + 1,5$
Угловой коэффициент $k_2 = -0,5$.
Сравниваем с первым уравнением: $k_1 \neq k_2$ (поскольку $0,5 \neq -0,5$).
Угловые коэффициенты различны, значит прямые пересекаются.
Ответ: система имеет одно решение.

$2y - x + 6 = 0$

Преобразуем второе уравнение:
$2y = x - 6$
$y = \frac{x - 6}{2}$
$y = \frac{1}{2}x - 3$
$y = 0,5x - 3$
Угловой коэффициент $k_2 = 0,5$, свободный член $b_2 = -3$.
Сравниваем с первым уравнением: $k_1 = k_2 = 0,5$ и $b_1 = b_2 = -3$.
Уравнения идентичны, их графики совпадают.
Ответ: система имеет бесчисленное множество решений.