Номер 641, страница 196 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 4. Системы уравнений - номер 641, страница 196.

Условие.

641 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Найдите координаты точки пересечения прямых:

а) $8x + y = 27$ и $5x - y = 25$;

б) $3x - y = 19$ и $x - y = -1$;

в) $x + y = 2$ и $4x - 7y = -10$;

г) $2x - y = 3$ и $4x + 3y = -15$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, заданных уравнениями $8x + y = 27$ и $5x - y = 25$, необходимо решить систему этих уравнений:

$\begin{cases} 8x + y = 27 \\ 5x - y = 25 \end{cases}$

Для решения системы удобно использовать метод сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами. Сложим почленно два уравнения:

$(8x + y) + (5x - y) = 27 + 25$

$13x = 52$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{52}{13}$

$x = 4$

Подставим найденное значение $x=4$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$8(4) + y = 27$

$32 + y = 27$

$y = 27 - 32$

$y = -5$

Координаты точки пересечения прямых: $(4, -5)$.
Ответ: $(4, -5)$.

б) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых $3x - y = 19$ и $x - y = -1$, решим систему уравнений:

$\begin{cases} 3x - y = 19 \\ x - y = -1 \end{cases}$

Воспользуемся методом вычитания. Вычтем из первого уравнения второе:

$(3x - y) - (x - y) = 19 - (-1)$

$3x - y - x + y = 19 + 1$

$2x = 20$

$x = 10$

Подставим значение $x=10$ во второе уравнение системы:

$10 - y = -1$

$y = 10 + 1$

$y = 11$

Координаты точки пересечения прямых: $(10, 11)$.
Ответ: $(10, 11)$.

в) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых $x + y = 2$ и $4x - 7y = -10$, решим систему:

$\begin{cases} x + y = 2 \\ 4x - 7y = -10 \end{cases}$

Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:

$x = 2 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$4(2 - y) - 7y = -10$

$8 - 4y - 7y = -10$

$8 - 11y = -10$

$-11y = -10 - 8$

$-11y = -18$

$y = \frac{-18}{-11} = \frac{18}{11}$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = 2 - y$:

$x = 2 - \frac{18}{11} = \frac{22}{11} - \frac{18}{11} = \frac{4}{11}$

Координаты точки пересечения прямых: $(\frac{4}{11}, \frac{18}{11})$.
Ответ: $(\frac{4}{11}, \frac{18}{11})$.

г) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых $2x - y = 3$ и $4x + 3y = -15$, решим систему:

$\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x + 3y = -15 \end{cases}$

Применим метод сложения. Для этого умножим обе части первого уравнения на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$3 \cdot (2x - y) = 3 \cdot 3$

$6x - 3y = 9$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 6x - 3y = 9 \\ 4x + 3y = -15 \end{cases}$

Сложим почленно уравнения системы:

$(6x - 3y) + (4x + 3y) = 9 + (-15)$

$10x = -6$

$x = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$

Подставим найденное значение $x$ в первое исходное уравнение $2x - y = 3$:

$2(-\frac{3}{5}) - y = 3$

$-\frac{6}{5} - y = 3$

$-y = 3 + \frac{6}{5}$

$-y = \frac{15}{5} + \frac{6}{5}$

$-y = \frac{21}{5}$

$y = -\frac{21}{5}$

Координаты точки пересечения прямых: $(-\frac{3}{5}, -\frac{21}{5})$.
Ответ: $(-\frac{3}{5}, -\frac{21}{5})$.