Номер 640, страница 196 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 4. Системы уравнений - номер 640, страница 196.

Условие.

640 а) $ \begin{cases} 3a + 5b = 4 \\ 2a - 3b = 9; \end{cases} $

В) $ \begin{cases} 6u - 7v = 6 \\ 7u - 8v = 15; \end{cases} $

Д) $ \begin{cases} 4y - 2z = 10 \\ 3y + 5z = 1; \end{cases} $

Б) $ \begin{cases} 2x + 3z = 6 \\ 3x + 5z = 8; \end{cases} $

Г) $ \begin{cases} 2m + 5n = 12 \\ 4m + 3n = 10; \end{cases} $

Е) $ \begin{cases} 8x - 3y = 22 \\ 3x + 4y = -2. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 3a + 5b = 4 \\ 2a - 3b = 9 \end{cases}$

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3, чтобы коэффициенты при переменной $a$ стали противоположными:

$\begin{cases} (3a + 5b) \cdot 2 = 4 \cdot 2 \\ (2a - 3b) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) \end{cases} \implies \begin{cases} 6a + 10b = 8 \\ -6a + 9b = -27 \end{cases}$

Теперь сложим два новых уравнения почленно: $(6a + 10b) + (-6a + 9b) = 8 - 27$. Это дает $19b = -19$, откуда $b = -1$.

Подставим найденное значение $b = -1$ в первое уравнение исходной системы $3a + 5b = 4$: $3a + 5(-1) = 4$, что упрощается до $3a - 5 = 4$. Отсюда $3a = 9$ и $a = 3$.

Проверим решение, подставив $a=3$ и $b=-1$ во второе уравнение: $2(3) - 3(-1) = 6 + 3 = 9$. Равенство верно.

Ответ: $(3; -1)$

б) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 2x + 3z = 6 \\ 3x + 5z = 8 \end{cases}$

Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:

$\begin{cases} (2x + 3z) \cdot 3 = 6 \cdot 3 \\ (3x + 5z) \cdot (-2) = 8 \cdot (-2) \end{cases} \implies \begin{cases} 6x + 9z = 18 \\ -6x - 10z = -16 \end{cases}$

Сложим полученные уравнения: $(6x + 9z) + (-6x - 10z) = 18 - 16$. Получаем $-z = 2$, откуда $z = -2$.

Подставим $z = -2$ в первое исходное уравнение $2x + 3z = 6$: $2x + 3(-2) = 6$, что дает $2x - 6 = 6$. Отсюда $2x = 12$ и $x = 6$.

Проверка: подставим $x=6$ и $z=-2$ во второе уравнение: $3(6) + 5(-2) = 18 - 10 = 8$. Равенство верно.

Ответ: $(6; -2)$

в) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 6u - 7v = 6 \\ 7u - 8v = 15 \end{cases}$

Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 7, а второе на -6:

$\begin{cases} (6u - 7v) \cdot 7 = 6 \cdot 7 \\ (7u - 8v) \cdot (-6) = 15 \cdot (-6) \end{cases} \implies \begin{cases} 42u - 49v = 42 \\ -42u + 48v = -90 \end{cases}$

Сложим уравнения: $(42u - 49v) + (-42u + 48v) = 42 - 90$. Получаем $-v = -48$, откуда $v = 48$.

Подставим $v = 48$ в первое уравнение $6u - 7v = 6$: $6u - 7(48) = 6$, то есть $6u - 336 = 6$. Отсюда $6u = 342$ и $u = 57$.

Проверка: подставим $u=57$ и $v=48$ во второе уравнение: $7(57) - 8(48) = 399 - 384 = 15$. Равенство верно.

Ответ: $(57; 48)$

г) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 2m + 5n = 12 \\ 4m + 3n = 10 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $m$ стали противоположными, и применим метод сложения:

$\begin{cases} -2(2m + 5n) = -2 \cdot 12 \\ 4m + 3n = 10 \end{cases} \implies \begin{cases} -4m - 10n = -24 \\ 4m + 3n = 10 \end{cases}$

Сложим уравнения: $(-4m - 10n) + (4m + 3n) = -24 + 10$. Получаем $-7n = -14$, откуда $n = 2$.

Подставим $n = 2$ в первое исходное уравнение $2m + 5n = 12$: $2m + 5(2) = 12$, то есть $2m + 10 = 12$. Отсюда $2m = 2$ и $m = 1$.

Проверка: подставим $m=1$ и $n=2$ во второе уравнение: $4(1) + 3(2) = 4 + 6 = 10$. Равенство верно.

Ответ: $(1; 2)$

д) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 4y - 2z = 10 \\ 3y + 5z = 1 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2: $2y - z = 5$. Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 2y - z = 5 \\ 3y + 5z = 1 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из упрощенного первого уравнения выразим $z$: $z = 2y - 5$.

Подставим полученное выражение для $z$ во второе уравнение: $3y + 5(2y - 5) = 1$. Раскроем скобки: $3y + 10y - 25 = 1$. Приведем подобные слагаемые: $13y = 26$, откуда $y = 2$.

Теперь найдем $z$, подставив $y = 2$ в выражение $z = 2y - 5$: $z = 2(2) - 5 = 4 - 5 = -1$.

Проверим решение по исходным уравнениям. Первое: $4(2) - 2(-1) = 8 + 2 = 10$. Второе: $3(2) + 5(-1) = 6 - 5 = 1$. Оба равенства верны.

Ответ: $(2; -1)$

е) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 8x - 3y = 22 \\ 3x + 4y = -2 \end{cases}$

Применим метод сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными числами:

$\begin{cases} (8x - 3y) \cdot 4 = 22 \cdot 4 \\ (3x + 4y) \cdot 3 = -2 \cdot 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 32x - 12y = 88 \\ 9x + 12y = -6 \end{cases}$

Сложим полученные уравнения: $(32x - 12y) + (9x + 12y) = 88 - 6$. Получаем $41x = 82$, откуда $x = 2$.

Подставим $x = 2$ во второе исходное уравнение $3x + 4y = -2$: $3(2) + 4y = -2$, то есть $6 + 4y = -2$. Отсюда $4y = -8$ и $y = -2$.

Проверка: подставим $x=2$ и $y=-2$ в первое уравнение: $8(2) - 3(-2) = 16 + 6 = 22$. Равенство верно.

Ответ: $(2; -2)$