Номер 645, страница 197 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 4. Системы уравнений - номер 645, страница 197.

Условие.

Решите систему уравнений (645—646).

645 a) $\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2 \\ \frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{u}{5} + \frac{v}{2} = 2 \\ -\frac{u}{3} + \frac{v}{2} = \frac{2}{3}; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2p - \frac{q}{2} = 14 \\ \frac{p}{2} + \frac{q}{8} = 7; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{3m}{2} + \frac{2n}{3} = 6 \\ \frac{3m}{4} + \frac{n}{3} = 12. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2 \\ \frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 5 \end{cases} $

Для того чтобы избавиться от дробей, умножим первое уравнение на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3), а второе уравнение на 4 (наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 2).

Первое уравнение:

$6 \cdot (\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) = 6 \cdot 2$

$3x - 2y = 12$

Второе уравнение:

$4 \cdot (\frac{x}{4} + \frac{y}{2}) = 4 \cdot 5$

$x + 2y = 20$

Получаем эквивалентную систему уравнений без дробей:

$ \begin{cases} 3x - 2y = 12 \\ x + 2y = 20 \end{cases} $

Сложим почленно два уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$:

$(3x - 2y) + (x + 2y) = 12 + 20$

$4x = 32$

$x = \frac{32}{4}$

$x = 8$

Подставим найденное значение $x=8$ во второе упрощенное уравнение $x + 2y = 20$:

$8 + 2y = 20$

$2y = 20 - 8$

$2y = 12$

$y = \frac{12}{2}$

$y = 6$

Ответ: $(8; 6)$

б) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{u}{5} + \frac{v}{2} = 2 \\ -\frac{u}{3} + \frac{v}{2} = \frac{2}{3} \end{cases} $

Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 10 (НОК(5, 2)), а второе на 6 (НОК(3, 2)).

Первое уравнение:

$10 \cdot (\frac{u}{5} + \frac{v}{2}) = 10 \cdot 2$

$2u + 5v = 20$

Второе уравнение:

$6 \cdot (-\frac{u}{3} + \frac{v}{2}) = 6 \cdot \frac{2}{3}$

$-2u + 3v = 4$

Получаем новую систему:

$ \begin{cases} 2u + 5v = 20 \\ -2u + 3v = 4 \end{cases} $

Сложим уравнения системы:

$(2u + 5v) + (-2u + 3v) = 20 + 4$

$8v = 24$

$v = \frac{24}{8}$

$v = 3$

Подставим $v = 3$ в первое упрощенное уравнение $2u + 5v = 20$:

$2u + 5 \cdot 3 = 20$

$2u + 15 = 20$

$2u = 5$

$u = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: $(2.5; 3)$

в) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 2p - \frac{q}{2} = 14 \\ \frac{p}{2} + \frac{q}{8} = 7 \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 8, чтобы избавиться от дробей.

Первое уравнение:

$2 \cdot (2p - \frac{q}{2}) = 2 \cdot 14$

$4p - q = 28$

Второе уравнение:

$8 \cdot (\frac{p}{2} + \frac{q}{8}) = 8 \cdot 7$

$4p + q = 56$

Получаем систему:

$ \begin{cases} 4p - q = 28 \\ 4p + q = 56 \end{cases} $

Сложим уравнения системы:

$(4p - q) + (4p + q) = 28 + 56$

$8p = 84$

$p = \frac{84}{8} = \frac{21}{2} = 10.5$

Подставим $p = 10.5$ во второе упрощенное уравнение $4p + q = 56$:

$4 \cdot 10.5 + q = 56$

$42 + q = 56$

$q = 56 - 42$

$q = 14$

Ответ: $(10.5; 14)$

г) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{3m}{2} + \frac{2n}{3} = 6 \\ \frac{3m}{4} + \frac{n}{3} = 12 \end{cases} $

Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 6 (НОК(2, 3)), а второе на 12 (НОК(4, 3)).

Первое уравнение:

$6 \cdot (\frac{3m}{2} + \frac{2n}{3}) = 6 \cdot 6$

$3 \cdot 3m + 2 \cdot 2n = 36$

$9m + 4n = 36$

Второе уравнение:

$12 \cdot (\frac{3m}{4} + \frac{n}{3}) = 12 \cdot 12$

$3 \cdot 3m + 4 \cdot n = 144$

$9m + 4n = 144$

Получаем систему:

$ \begin{cases} 9m + 4n = 36 \\ 9m + 4n = 144 \end{cases} $

Левые части уравнений одинаковы, а правые различны. Вычтем из первого уравнения второе:

$(9m + 4n) - (9m + 4n) = 36 - 144$

$0 = -108$

Получено неверное равенство, которое не зависит от значений переменных. Это означает, что система уравнений несовместна и не имеет решений.

Ответ: решений нет.