Номер 3, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 3, страница 200.

Условие.

1) Что служит графиком уравнения $x^2 + y^2 = r^2$, где $r > 0$ (фрагмент 3)?

2) Запишите уравнение окружности с центром в начале координат и с радиусом, равным 4.

3) Сделайте схематический рисунок и определите, имеет ли решения система

уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ y = 2x - 1,5 \end{cases}$ и если имеет, то сколько.

Решение 3.

Решение 4.

1) Уравнение вида $x^2 + y^2 = r^2$, где $r > 0$, является каноническим уравнением окружности. Графиком такого уравнения служит окружность с центром в начале координат, то есть в точке $(0, 0)$, и радиусом, равным $r$.
Ответ: Окружность с центром в начале координат и радиусом $r$.

2) Общее уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид $x^2 + y^2 = r^2$, где $r$ — это радиус окружности. По условию, радиус равен 4. Подставим это значение в уравнение:
$x^2 + y^2 = 4^2$
$x^2 + y^2 = 16$
Ответ: $x^2 + y^2 = 16$.

3) Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ y = 2x - 1,5 \end{cases}$
Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков уравнений.
Первое уравнение $x^2 + y^2 = 10$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{10} \approx 3,16$.
Второе уравнение $y = 2x - 1,5$ задает прямую. Для ее построения найдем две точки. Например:
- если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 - 1,5 = -1,5$. Точка $(0; -1,5)$.
- если $y = 0$, то $0 = 2x - 1,5$, откуда $2x = 1,5$ и $x = 0,75$. Точка $(0,75; 0)$.
Схематический рисунок представляет собой окружность с центром в начале координат, пересекающую оси в точках $(\pm\sqrt{10}, 0)$ и $(0, \pm\sqrt{10})$, и прямую, проходящую через точки $(0; -1,5)$ и $(0,75; 0)$. Видно, что прямая пересекает окружность.
Чтобы точно определить количество решений, решим систему алгебраически. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$x^2 + (2x - 1,5)^2 = 10$
$x^2 + 4x^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1,5 + (1,5)^2 = 10$
$x^2 + 4x^2 - 6x + 2,25 = 10$
$5x^2 - 6x - 7,75 = 0$
Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7,75) = 36 + 20 \cdot 7,75 = 36 + 155 = 191$
Поскольку дискриминант $D = 191 > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Каждому значению $x$ будет соответствовать одно значение $y$. Следовательно, система имеет два решения, а графики пересекаются в двух точках.
Ответ: Да, система имеет два решения.