Номер 3, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Авторы: Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С., Рослова Л. О.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2022
Цвет обложки: белый, бирюзовый, оранжевый
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вопросы к пункту. 4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 3, страница 200.
№3 (с. 200)
Условие. №3 (с. 200)
скриншот условия

1) Что служит графиком уравнения $x^2 + y^2 = r^2$, где $r > 0$ (фрагмент 3)?
2) Запишите уравнение окружности с центром в начале координат и с радиусом, равным 4.
3) Сделайте схематический рисунок и определите, имеет ли решения система
уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ y = 2x - 1,5 \end{cases}$ и если имеет, то сколько.
Решение 3. №3 (с. 200)



Решение 4. №3 (с. 200)
1) Уравнение вида $x^2 + y^2 = r^2$, где $r > 0$, является каноническим уравнением окружности. Графиком такого уравнения служит окружность с центром в начале координат, то есть в точке $(0, 0)$, и радиусом, равным $r$.
Ответ: Окружность с центром в начале координат и радиусом $r$.
2) Общее уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид $x^2 + y^2 = r^2$, где $r$ — это радиус окружности. По условию, радиус равен 4. Подставим это значение в уравнение:
$x^2 + y^2 = 4^2$
$x^2 + y^2 = 16$
Ответ: $x^2 + y^2 = 16$.
3) Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ y = 2x - 1,5 \end{cases}$
Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков уравнений.
Первое уравнение $x^2 + y^2 = 10$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{10} \approx 3,16$.
Второе уравнение $y = 2x - 1,5$ задает прямую. Для ее построения найдем две точки. Например:
- если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 - 1,5 = -1,5$. Точка $(0; -1,5)$.
- если $y = 0$, то $0 = 2x - 1,5$, откуда $2x = 1,5$ и $x = 0,75$. Точка $(0,75; 0)$.
Схематический рисунок представляет собой окружность с центром в начале координат, пересекающую оси в точках $(\pm\sqrt{10}, 0)$ и $(0, \pm\sqrt{10})$, и прямую, проходящую через точки $(0; -1,5)$ и $(0,75; 0)$. Видно, что прямая пересекает окружность.
Чтобы точно определить количество решений, решим систему алгебраически. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$x^2 + (2x - 1,5)^2 = 10$
$x^2 + 4x^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1,5 + (1,5)^2 = 10$
$x^2 + 4x^2 - 6x + 2,25 = 10$
$5x^2 - 6x - 7,75 = 0$
Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7,75) = 36 + 20 \cdot 7,75 = 36 + 155 = 191$
Поскольку дискриминант $D = 191 > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Каждому значению $x$ будет соответствовать одно значение $y$. Следовательно, система имеет два решения, а графики пересекаются в двух точках.
Ответ: Да, система имеет два решения.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 3 расположенного на странице 200 к учебнику 2019 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3 (с. 200), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Суворова (Светлана Борисовна), Бунимович (Евгений Абрамович), Кузнецова (Людмила Викторовна), Минаева (Светлана Станиславовна), Рослова (Лариса Олеговна), ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение.