Номер 654, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 654, страница 201.

Условие.

654 Найдите координаты точек пересечения прямой и окружности, заданных уравнениями, и проиллюстрируйте результат графически:

a) $y = \frac{3}{4} x$ и $x^2 + y^2 = 25$;

б) $x + y = 6$ и $x^2 + y^2 = 20$;

в) $y = -\frac{2}{3} x$ и $x^2 + y^2 = 13$;

г) $x - y = 0$ и $x^2 + y^2 = 16$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = \frac{3}{4}x$ и $x^2 + y^2 = 25$

Для нахождения координат точек пересечения решим систему уравнений. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x^2 + (\frac{3}{4}x)^2 = 25$

$x^2 + \frac{9}{16}x^2 = 25$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{16x^2 + 9x^2}{16} = 25$

$\frac{25x^2}{16} = 25$

$x^2 = 16$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение прямой $y = \frac{3}{4}x$:

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3$. Первая точка пересечения: $(4, 3)$.

Если $x_2 = -4$, то $y_2 = \frac{3}{4} \cdot (-4) = -3$. Вторая точка пересечения: $(-4, -3)$.

Графическая иллюстрация: уравнение $x^2 + y^2 = 25$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$. Уравнение $y = \frac{3}{4}x$ задает прямую, проходящую через начало координат и, например, точку $(4, 3)$. На графике видно, что прямая и окружность пересекаются в двух точках, симметричных относительно начала координат.

Ответ: $(4, 3)$ и $(-4, -3)$.

б) $x + y = 6$ и $x^2 + y^2 = 20$

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 6 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 + (6 - x)^2 = 20$

$x^2 + 36 - 12x + x^2 = 20$

$2x^2 - 12x + 16 = 0$

Разделим уравнение на 2, чтобы упростить его:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y = 6 - x$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 6 - 2 = 4$. Первая точка пересечения: $(2, 4)$.

Если $x_2 = 4$, то $y_2 = 6 - 4 = 2$. Вторая точка пересечения: $(4, 2)$.

Графическая иллюстрация: уравнение $x^2 + y^2 = 20$ задает окружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.47$. Уравнение $x + y = 6$ задает прямую, которая пересекает оси координат в точках $(6, 0)$ и $(0, 6)$. График показывает, что прямая пересекает окружность в двух точках в первой четверти.

Ответ: $(2, 4)$ и $(4, 2)$.

в) $y = -\frac{2}{3}x$ и $x^2 + y^2 = 13$

Подставим выражение для $y$ из уравнения прямой в уравнение окружности:

$x^2 + (-\frac{2}{3}x)^2 = 13$

$x^2 + \frac{4}{9}x^2 = 13$

$\frac{9x^2 + 4x^2}{9} = 13$

$\frac{13x^2}{9} = 13$

$x^2 = 9$

Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = -\frac{2}{3}x$:

Если $x_1 = 3$, то $y_1 = -\frac{2}{3} \cdot 3 = -2$. Первая точка пересечения: $(3, -2)$.

Если $x_2 = -3$, то $y_2 = -\frac{2}{3} \cdot (-3) = 2$. Вторая точка пересечения: $(-3, 2)$.

Графическая иллюстрация: уравнение $x^2 + y^2 = 13$ задает окружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{13} \approx 3.6$. Уравнение $y = -\frac{2}{3}x$ задает прямую, проходящую через начало координат и, например, точку $(3, -2)$. На графике видно, что прямая и окружность пересекаются в двух точках, расположенных во второй и четвертой координатных четвертях.

Ответ: $(3, -2)$ и $(-3, 2)$.

г) $x - y = 0$ и $x^2 + y^2 = 16$

Из первого уравнения следует, что $y = x$.

Подставим это во второе уравнение:

$x^2 + x^2 = 16$

$2x^2 = 16$

$x^2 = 8$

$x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.

Поскольку $y = x$, то значения $y$ будут такими же:

Если $x_1 = 2\sqrt{2}$, то $y_1 = 2\sqrt{2}$. Первая точка пересечения: $(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$.

Если $x_2 = -2\sqrt{2}$, то $y_2 = -2\sqrt{2}$. Вторая точка пересечения: $(-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$.

Графическая иллюстрация: уравнение $x^2 + y^2 = 16$ задает окружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$. Уравнение $x - y = 0$ или $y = x$ задает прямую, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. График показывает, что эта прямая пересекает окружность в двух точках, симметричных относительно начала координат.

Ответ: $(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$ и $(-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$.