Номер 655, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 655, страница 202.

Условие.

655 Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x+y=12 \\ xy=32 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x-y=4 \\ xy=12 \end{cases}$

в) $\begin{cases} y=x+2 \\ 4y+x^2=8 \end{cases}$

г) $\begin{cases} y^2+2x-4y=0 \\ 2y-x=2 \end{cases}$

д) $\begin{cases} 2x-y^2=5 \\ x+y^2=16 \end{cases}$

е) $\begin{cases} x^2-3y=-5 \\ x^2-y=1 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $ \begin{cases} x + y = 12, \\ xy = 32. \end{cases} $

Это система, которую удобно решить с помощью теоремы Виета для квадратного уравнения. Числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим значения из системы:

$t^2 - 12t + 32 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{16}}{2} = \frac{12 + 4}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{16}}{2} = \frac{12 - 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Таким образом, пары решений $(x, y)$ — это $(8, 4)$ и $(4, 8)$.

Ответ: $(4, 8)$, $(8, 4)$.

б) $ \begin{cases} x - y = 4, \\ xy = 12. \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 4 + y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(4 + y)y = 12$

$4y + y^2 = 12$

$y^2 + 4y - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = -6$ и $y_2 = 2$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = -6$, то $x_1 = 4 + (-6) = -2$.

Если $y_2 = 2$, то $x_2 = 4 + 2 = 6$.

Получаем две пары решений.

Ответ: $(-2, -6)$, $(6, 2)$.

в) $ \begin{cases} y = x + 2, \\ 4y + x^2 = 8. \end{cases} $

Используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$4(x + 2) + x^2 = 8$

$4x + 8 + x^2 = 8$

$x^2 + 4x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 4) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0 + 2 = 2$.

Если $x_2 = -4$, то $y_2 = -4 + 2 = -2$.

Получаем две пары решений.

Ответ: $(0, 2)$, $(-4, -2)$.

г) $ \begin{cases} y^2 + 2x - 4y = 0, \\ 2y - x = 2. \end{cases} $

Применим метод подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 2y - 2$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$y^2 + 2(2y - 2) - 4y = 0$

$y^2 + 4y - 4 - 4y = 0$

$y^2 - 4 = 0$

$(y - 2)(y + 2) = 0$

Отсюда $y_1 = 2$ или $y_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 2(-2) - 2 = -4 - 2 = -6$.

Получаем две пары решений.

Ответ: $(2, 2)$, $(-6, -2)$.

д) $ \begin{cases} 2x - y^2 = 5, \\ x + y^2 = 16. \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Сложим первое и второе уравнения:

$(2x - y^2) + (x + y^2) = 5 + 16$

$3x = 21$

$x = 7$

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение системы:

$7 + y^2 = 16$

$y^2 = 16 - 7$

$y^2 = 9$

Отсюда $y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.

Получаем две пары решений.

Ответ: $(7, 3)$, $(7, -3)$.

е) $ \begin{cases} x^2 - 3y = -5, \\ x^2 - y = 1. \end{cases} $

Решим систему методом вычитания. Вычтем из первого уравнения второе:

$(x^2 - 3y) - (x^2 - y) = -5 - 1$

$x^2 - 3y - x^2 + y = -6$

$-2y = -6$

$y = 3$

Подставим найденное значение $y$ во второе уравнение системы:

$x^2 - 3 = 1$

$x^2 = 4$

Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Получаем две пары решений.

Ответ: $(2, 3)$, $(-2, 3)$.