Номер 651, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 651, страница 201.

Условие.

651 а) $$\begin{cases} y + x = 21 \\ y - x = 3; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} a - 2b = 3 \\ a - 3b = 20; \end{cases}$$

В) $$\begin{cases} x - 2y = 5 \\ 3x + 4y = 10; \end{cases}$$

Г) $$\begin{cases} m + 3n = 2 \\ 2m + 3n = 7; \end{cases}$$

Д) $$\begin{cases} 3u + 5v = 8 \\ u + 2v = 1; \end{cases}$$

е) $$\begin{cases} 3x - 2z = 3 \\ 2x - z = 2. \end{cases}$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y + x = 21 \\ y - x = 3 \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения. Сложим левую и правую части первого и второго уравнений:

$ (y + x) + (y - x) = 21 + 3 $

$ 2y = 24 $

$ y = \frac{24}{2} = 12 $

Теперь подставим найденное значение $y$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:

$ 12 + x = 21 $

$ x = 21 - 12 $

$ x = 9 $

Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение: $12 - 9 = 3$. Равенство верное.

Ответ: $(9, 12)$

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} a - 2b = 3 \\ a - 3b = 20 \end{cases} $

Решим систему методом вычитания. Вычтем из первого уравнения второе:

$ (a - 2b) - (a - 3b) = 3 - 20 $

$ a - 2b - a + 3b = -17 $

$ b = -17 $

Подставим значение $b$ в первое уравнение системы:

$ a - 2(-17) = 3 $

$ a + 34 = 3 $

$ a = 3 - 34 $

$ a = -31 $

Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение: $-31 - 3(-17) = -31 + 51 = 20$. Равенство верное.

Ответ: $(-31, -17)$

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - 2y = 5 \\ 3x + 4y = 10 \end{cases} $

Воспользуемся методом сложения. Для этого умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$ 2(x - 2y) = 2 \cdot 5 \Rightarrow 2x - 4y = 10 $

Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 2x - 4y = 10 \\ 3x + 4y = 10 \end{cases} $

Сложим уравнения системы:

$ (2x - 4y) + (3x + 4y) = 10 + 10 $

$ 5x = 20 $

$ x = \frac{20}{5} = 4 $

Подставим значение $x$ в исходное первое уравнение:

$ 4 - 2y = 5 $

$ -2y = 5 - 4 $

$ -2y = 1 $

$ y = -\frac{1}{2} $

Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение: $3(4) + 4(-\frac{1}{2}) = 12 - 2 = 10$. Равенство верное.

Ответ: $(4, -1/2)$

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} m + 3n = 2 \\ 2m + 3n = 7 \end{cases} $

Используем метод вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:

$ (2m + 3n) - (m + 3n) = 7 - 2 $

$ m = 5 $

Подставим найденное значение $m$ в первое уравнение:

$ 5 + 3n = 2 $

$ 3n = 2 - 5 $

$ 3n = -3 $

$ n = -1 $

Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение: $2(5) + 3(-1) = 10 - 3 = 7$. Равенство верное.

Ответ: $(5, -1)$

д) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3u + 5v = 8 \\ u + 2v = 1 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $u$:

$ u = 1 - 2v $

Подставим это выражение в первое уравнение:

$ 3(1 - 2v) + 5v = 8 $

$ 3 - 6v + 5v = 8 $

$ 3 - v = 8 $

$ -v = 8 - 3 $

$ v = -5 $

Теперь найдем $u$, подставив значение $v$ в выражение для $u$:

$ u = 1 - 2(-5) = 1 + 10 = 11 $

Проверим, подставив найденные значения в первое уравнение: $3(11) + 5(-5) = 33 - 25 = 8$. Равенство верное.

Ответ: $(11, -5)$

е) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x - 2z = 3 \\ 2x - z = 2 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $z$:

$ -z = 2 - 2x \Rightarrow z = 2x - 2 $

Подставим полученное выражение для $z$ в первое уравнение:

$ 3x - 2(2x - 2) = 3 $

$ 3x - 4x + 4 = 3 $

$ -x + 4 = 3 $

$ -x = -1 $

$ x = 1 $

Найдем $z$, подставив значение $x$ в выражение для $z$:

$ z = 2(1) - 2 = 0 $

Проверим, подставив найденные значения в первое уравнение: $3(1) - 2(0) = 3 - 0 = 3$. Равенство верное.

Ответ: $(1, 0)$