Страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

649 Выразите из уравнения сначала одну переменную, а затем другую:

а) $x + y = 18$;

б) $a - b = 3$;

в) $2p + q = 0$;

г) $m - 3n = 1$.

а) Из данного уравнения $x + y = 18$ необходимо выразить сначала переменную $x$, а затем переменную $y$.

Чтобы выразить $x$, мы оставляем его в левой части уравнения, а $y$ переносим в правую часть, меняя знак на противоположный:

$x = 18 - y$

Аналогично, чтобы выразить $y$, мы оставляем его в левой части, а $x$ переносим в правую часть со знаком минус:

$y = 18 - x$

Ответ: $x = 18 - y$; $y = 18 - x$.

б) Из данного уравнения $a - b = 3$ необходимо выразить сначала переменную $a$, а затем переменную $b$.

Чтобы выразить $a$, перенесем $-b$ в правую часть уравнения, поменяв знак на плюс:

$a = 3 + b$

Чтобы выразить $b$, сначала перенесем $a$ в правую часть со знаком минус:

$-b = 3 - a$

Теперь умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы получить $b$ с положительным знаком:

$b = -(3 - a)$

$b = a - 3$

Ответ: $a = 3 + b$; $b = a - 3$.

в) Из данного уравнения $2p + q = 0$ необходимо выразить сначала переменную $p$, а затем переменную $q$.

Чтобы выразить $q$, перенесем $2p$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$q = -2p$

Чтобы выразить $p$, сначала перенесем $q$ в правую часть со знаком минус:

$2p = -q$

Теперь разделим обе части уравнения на $2$:

$p = -\frac{q}{2}$

Ответ: $q = -2p$; $p = -\frac{q}{2}$.

г) Из данного уравнения $m - 3n = 1$ необходимо выразить сначала переменную $m$, а затем переменную $n$.

Чтобы выразить $m$, перенесем $-3n$ в правую часть уравнения, поменяв знак на плюс:

$m = 1 + 3n$

Чтобы выразить $n$, сначала перенесем $m$ в правую часть со знаком минус:

$-3n = 1 - m$

Теперь разделим обе части уравнения на $-3$:

$n = \frac{1 - m}{-3}$

Для удобства можно изменить знаки и в числителе, и в знаменателе, умножив дробь на $\frac{-1}{-1}$:

$n = \frac{-(1 - m)}{-(-3)} = \frac{m - 1}{3}$

Ответ: $m = 1 + 3n$; $n = \frac{m - 1}{3}$.

ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ Решите систему способом подстановки (650–651).

650 а) $ \begin{cases} 3x + y = 5 \\ y = 2x; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x = y - 1 \\ 2x + y = 13; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} a = b \\ 2a + 3b = -15; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} m - 2n = 1 \\ m = -3n + 6; \end{cases} $

д) $ \begin{cases} y + 2z = 14 \\ y = z - 4; \end{cases} $

е) $ \begin{cases} q = p - 2 \\ 7q - 4p = 10. \end{cases} $

а) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x + y = 5 \\ y = 2x \end{cases} $

Метод подстановки заключается в том, чтобы выразить одну переменную через другую из одного уравнения и подставить это выражение в другое уравнение. В данной системе во втором уравнении переменная $y$ уже выражена через $x$.

Подставим выражение $2x$ вместо $y$ в первое уравнение:

$3x + (2x) = 5$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$5x = 5$

$x = \frac{5}{5}$

$x = 1$

Теперь, зная значение $x$, найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=1$ во второе уравнение:

$y = 2x = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: $x=1, y=2$

б) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x = y - 1 \\ 2x + y = 13 \end{cases} $

В первом уравнении переменная $x$ уже выражена через $y$.

Подставим выражение $y - 1$ вместо $x$ во второе уравнение:

$2(y - 1) + y = 13$

Решим полученное уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$2y - 2 + y = 13$

$3y - 2 = 13$

$3y = 13 + 2$

$3y = 15$

$y = \frac{15}{3}$

$y = 5$

Теперь найдем значение $x$, подставив $y=5$ в первое уравнение:

$x = y - 1 = 5 - 1 = 4$

Ответ: $x=4, y=5$

в) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} a = b \\ 2a + 3b = -15 \end{cases} $

В первом уравнении переменная $a$ выражена через $b$.

Подставим $b$ вместо $a$ во второе уравнение:

$2b + 3b = -15$

Решим полученное уравнение:

$5b = -15$

$b = \frac{-15}{5}$

$b = -3$

Так как из первого уравнения $a = b$, то:

$a = -3$

Ответ: $a=-3, b=-3$

г) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} m - 2n = 1 \\ m = -3n + 6 \end{cases} $

Во втором уравнении переменная $m$ выражена через $n$.

Подставим выражение $-3n + 6$ вместо $m$ в первое уравнение:

$(-3n + 6) - 2n = 1$

Решим полученное уравнение:

$-5n + 6 = 1$

$-5n = 1 - 6$

$-5n = -5$

$n = \frac{-5}{-5}$

$n = 1$

Теперь найдем значение $m$, подставив $n=1$ во второе уравнение:

$m = -3n + 6 = -3(1) + 6 = -3 + 6 = 3$

Ответ: $m=3, n=1$

д) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y + 2z = 14 \\ y = z - 4 \end{cases} $

Во втором уравнении переменная $y$ выражена через $z$.

Подставим выражение $z - 4$ вместо $y$ в первое уравнение:

$(z - 4) + 2z = 14$

Решим полученное уравнение:

$3z - 4 = 14$

$3z = 14 + 4$

$3z = 18$

$z = \frac{18}{3}$

$z = 6$

Теперь найдем значение $y$, подставив $z=6$ во второе уравнение:

$y = z - 4 = 6 - 4 = 2$

Ответ: $y=2, z=6$

е) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} q = p - 2 \\ 7q - 4p = 10 \end{cases} $

В первом уравнении переменная $q$ выражена через $p$.

Подставим выражение $p - 2$ вместо $q$ во второе уравнение:

$7(p - 2) - 4p = 10$

Решим полученное уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$7p - 14 - 4p = 10$

$3p - 14 = 10$

$3p = 10 + 14$

$3p = 24$

$p = \frac{24}{3}$

$p = 8$

Теперь найдем значение $q$, подставив $p=8$ в первое уравнение:

$q = p - 2 = 8 - 2 = 6$

Ответ: $p=8, q=6$

651 а) $$\begin{cases} y + x = 21 \\ y - x = 3; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} a - 2b = 3 \\ a - 3b = 20; \end{cases}$$

В) $$\begin{cases} x - 2y = 5 \\ 3x + 4y = 10; \end{cases}$$

Г) $$\begin{cases} m + 3n = 2 \\ 2m + 3n = 7; \end{cases}$$

Д) $$\begin{cases} 3u + 5v = 8 \\ u + 2v = 1; \end{cases}$$

е) $$\begin{cases} 3x - 2z = 3 \\ 2x - z = 2. \end{cases}$$

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y + x = 21 \\ y - x = 3 \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения. Сложим левую и правую части первого и второго уравнений:

$ (y + x) + (y - x) = 21 + 3 $

$ 2y = 24 $

$ y = \frac{24}{2} = 12 $

Теперь подставим найденное значение $y$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:

$ 12 + x = 21 $

$ x = 21 - 12 $

$ x = 9 $

Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение: $12 - 9 = 3$. Равенство верное.

Ответ: $(9, 12)$

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} a - 2b = 3 \\ a - 3b = 20 \end{cases} $

Решим систему методом вычитания. Вычтем из первого уравнения второе:

$ (a - 2b) - (a - 3b) = 3 - 20 $

$ a - 2b - a + 3b = -17 $

$ b = -17 $

Подставим значение $b$ в первое уравнение системы:

$ a - 2(-17) = 3 $

$ a + 34 = 3 $

$ a = 3 - 34 $

$ a = -31 $

Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение: $-31 - 3(-17) = -31 + 51 = 20$. Равенство верное.

Ответ: $(-31, -17)$

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - 2y = 5 \\ 3x + 4y = 10 \end{cases} $

Воспользуемся методом сложения. Для этого умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$ 2(x - 2y) = 2 \cdot 5 \Rightarrow 2x - 4y = 10 $

Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 2x - 4y = 10 \\ 3x + 4y = 10 \end{cases} $

Сложим уравнения системы:

$ (2x - 4y) + (3x + 4y) = 10 + 10 $

$ 5x = 20 $

$ x = \frac{20}{5} = 4 $

Подставим значение $x$ в исходное первое уравнение:

$ 4 - 2y = 5 $

$ -2y = 5 - 4 $

$ -2y = 1 $

$ y = -\frac{1}{2} $

Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение: $3(4) + 4(-\frac{1}{2}) = 12 - 2 = 10$. Равенство верное.

Ответ: $(4, -1/2)$

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} m + 3n = 2 \\ 2m + 3n = 7 \end{cases} $

Используем метод вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:

$ (2m + 3n) - (m + 3n) = 7 - 2 $

$ m = 5 $

Подставим найденное значение $m$ в первое уравнение:

$ 5 + 3n = 2 $

$ 3n = 2 - 5 $

$ 3n = -3 $

$ n = -1 $

Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение: $2(5) + 3(-1) = 10 - 3 = 7$. Равенство верное.

Ответ: $(5, -1)$

д) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3u + 5v = 8 \\ u + 2v = 1 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $u$:

$ u = 1 - 2v $

Подставим это выражение в первое уравнение:

$ 3(1 - 2v) + 5v = 8 $

$ 3 - 6v + 5v = 8 $

$ 3 - v = 8 $

$ -v = 8 - 3 $

$ v = -5 $

Теперь найдем $u$, подставив значение $v$ в выражение для $u$:

$ u = 1 - 2(-5) = 1 + 10 = 11 $

Проверим, подставив найденные значения в первое уравнение: $3(11) + 5(-5) = 33 - 25 = 8$. Равенство верное.

Ответ: $(11, -5)$

е) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x - 2z = 3 \\ 2x - z = 2 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $z$:

$ -z = 2 - 2x \Rightarrow z = 2x - 2 $

Подставим полученное выражение для $z$ в первое уравнение:

$ 3x - 2(2x - 2) = 3 $

$ 3x - 4x + 4 = 3 $

$ -x + 4 = 3 $

$ -x = -1 $

$ x = 1 $

Найдем $z$, подставив значение $x$ в выражение для $z$:

$ z = 2(1) - 2 = 0 $

Проверим, подставив найденные значения в первое уравнение: $3(1) - 2(0) = 3 - 0 = 3$. Равенство верное.

Ответ: $(1, 0)$

652 Решите систему уравнений, применив любой из известных вам способов:

а) $\begin{cases} 3m + 4n = 7 \\ 2m + n = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - 2y = 3 \\ 5x + y = 4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5a + 2b = 15 \\ 8a + 3b = -1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 5p - 4q = 3 \\ 2p - 3q = 11; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 8x - 2y = 14 \\ 9x + 4y = -3; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 3y - z = 5 \\ 5y + 2z = 12. \end{cases}$

а)Решим систему уравнений: $\begin{cases} 3m + 4n = 7 \\ 2m + n = 8\end{cases}$
Наиболее удобный способ — метод подстановки. Выразим $n$ из второго уравнения:
$n = 8 - 2m$
Подставим полученное выражение в первое уравнение системы:
$3m + 4(8 - 2m) = 7$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $m$:
$3m + 32 - 8m = 7$
$-5m = 7 - 32$
$-5m = -25$
$m = 5$
Теперь найдем $n$, подставив значение $m$ в выражение для $n$:
$n = 8 - 2 \cdot 5 = 8 - 10 = -2$
Ответ: $m=5, n=-2$ или $(5; -2)$.

б)Решим систему уравнений: $\begin{cases} x - 2y = 3 \\ 5x + y = 4\end{cases}$
Воспользуемся методом подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:
$y = 4 - 5x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x - 2(4 - 5x) = 3$
Решим полученное уравнение:
$x - 8 + 10x = 3$
$11x = 11$
$x = 1$
Найдем значение $y$:
$y = 4 - 5 \cdot 1 = 4 - 5 = -1$
Ответ: $x=1, y=-1$ или $(1; -1)$.

в)Решим систему уравнений: $\begin{cases} 5a + 2b = 15 \\ 8a + 3b = -1\end{cases}$
Применим метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными:
$\begin{cases} 15a + 6b = 45 \\ -16a - 6b = 2\end{cases}$
Сложим уравнения почленно:
$(15a + 6b) + (-16a - 6b) = 45 + 2$
$-a = 47$
$a = -47$
Подставим найденное значение $a$ в первое исходное уравнение:
$5(-47) + 2b = 15$
$-235 + 2b = 15$
$2b = 15 + 235$
$2b = 250$
$b = 125$
Ответ: $a=-47, b=125$ или $(-47; 125)$.

г)Решим систему уравнений: $\begin{cases} 5p - 4q = 3 \\ 2p - 3q = 11\end{cases}$
Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -4:
$\begin{cases} 15p - 12q = 9 \\ -8p + 12q = -44\end{cases}$
Сложим уравнения:
$(15p - 12q) + (-8p + 12q) = 9 - 44$
$7p = -35$
$p = -5$
Подставим значение $p$ во второе исходное уравнение:
$2(-5) - 3q = 11$
$-10 - 3q = 11$
$-3q = 21$
$q = -7$
Ответ: $p=-5, q=-7$ или $(-5; -7)$.

д)Решим систему уравнений: $\begin{cases} 8x - 2y = 14 \\ 9x + 4y = -3\end{cases}$
Применим метод сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$\begin{cases} 16x - 4y = 28 \\ 9x + 4y = -3\end{cases}$
Сложим уравнения:
$(16x - 4y) + (9x + 4y) = 28 - 3$
$25x = 25$
$x = 1$
Подставим $x=1$ в первое исходное уравнение:
$8(1) - 2y = 14$
$8 - 2y = 14$
$-2y = 6$
$y = -3$
Ответ: $x=1, y=-3$ или $(1; -3)$.

е)Решим систему уравнений: $\begin{cases} 3y - z = 5 \\ 5y + 2z = 12\end{cases}$
Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 2:
$\begin{cases} 6y - 2z = 10 \\ 5y + 2z = 12\end{cases}$
Сложим уравнения системы:
$(6y - 2z) + (5y + 2z) = 10 + 12$
$11y = 22$
$y = 2$
Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение:
$3(2) - z = 5$
$6 - z = 5$
$-z = -1$
$z = 1$
Ответ: $y=2, z=1$ или $(2; 1)$.

Применяем алгебру (653–655)

653 Определите координаты точки пересечения данных прямых и укажите, в какой координатной четверти она находится:

а) $y = -8x + 27$ и $y = 5x - 25$;

б) $y = 3x - 19$ и $y = x + 2;

в) $2x - y = 6$ и $12x - 5y = 3;

г) $y + 4x = 0$ и $y = \frac{3}{2}x + 33.$

а) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых $y = -8x + 27$ и $y = 5x - 25$, нужно решить систему этих уравнений. Так как в обоих уравнениях выражена переменная $y$, приравняем их правые части:

$-8x + 27 = 5x - 25$

Соберем слагаемые с $x$ в одной части, а свободные члены — в другой:

$27 + 25 = 5x + 8x$

$52 = 13x$

$x = \frac{52}{13} = 4$

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Используем второе уравнение:

$y = 5(4) - 25 = 20 - 25 = -5$

Координаты точки пересечения: $(4; -5)$. Поскольку абсцисса $x = 4$ положительна, а ордината $y = -5$ отрицательна, точка находится в IV координатной четверти.

Ответ: $(4; -5)$, IV четверть.

б) Для прямых $y = 3x - 19$ и $y = x + 2$ также приравняем правые части уравнений:

$3x - 19 = x + 2$

Решим уравнение относительно $x$:

$3x - x = 2 + 19$

$2x = 21$

$x = \frac{21}{2} = 10.5$

Подставим значение $x$ во второе уравнение:

$y = 10.5 + 2 = 12.5$

Координаты точки пересечения: $(10.5; 12.5)$. Так как абсцисса $x = 10.5 > 0$ и ордината $y = 12.5 > 0$, точка находится в I координатной четверти.

Ответ: $(10.5; 12.5)$, I четверть.

в) Дана система уравнений:
1) $2x - y = 6$
2) $12x - 5y = 3$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 2x - 6$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$12x - 5(2x - 6) = 3$

$12x - 10x + 30 = 3$

$2x = 3 - 30$

$2x = -27$

$x = -\frac{27}{2} = -13.5$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 2x - 6$:

$y = 2(-13.5) - 6 = -27 - 6 = -33$

Координаты точки пересечения: $(-13.5; -33)$. Поскольку абсцисса $x = -13.5 < 0$ и ордината $y = -33 < 0$, точка находится в III координатной четверти.

Ответ: $(-13.5; -33)$, III четверть.

г) Дана система уравнений:
1) $y + 4x = 0$
2) $y = \frac{3}{2}x + 33$

Из первого уравнения выразим $y$:

$y = -4x$

Теперь приравняем правые части обоих уравнений:

$-4x = \frac{3}{2}x + 33$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$-8x = 3x + 66$

$-8x - 3x = 66$

$-11x = 66$

$x = \frac{66}{-11} = -6$

Подставим значение $x$ в уравнение $y = -4x$:

$y = -4(-6) = 24$

Координаты точки пересечения: $(-6; 24)$. Так как абсцисса $x = -6 < 0$, а ордината $y = 24 > 0$, точка находится во II координатной четверти.

Ответ: $(-6; 24)$, II четверть.

654 Найдите координаты точек пересечения прямой и окружности, заданных уравнениями, и проиллюстрируйте результат графически:

a) $y = \frac{3}{4} x$ и $x^2 + y^2 = 25$;

б) $x + y = 6$ и $x^2 + y^2 = 20$;

в) $y = -\frac{2}{3} x$ и $x^2 + y^2 = 13$;

г) $x - y = 0$ и $x^2 + y^2 = 16$.

а) $y = \frac{3}{4}x$ и $x^2 + y^2 = 25$

Для нахождения координат точек пересечения решим систему уравнений. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x^2 + (\frac{3}{4}x)^2 = 25$

$x^2 + \frac{9}{16}x^2 = 25$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{16x^2 + 9x^2}{16} = 25$

$\frac{25x^2}{16} = 25$

$x^2 = 16$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение прямой $y = \frac{3}{4}x$:

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3$. Первая точка пересечения: $(4, 3)$.

Если $x_2 = -4$, то $y_2 = \frac{3}{4} \cdot (-4) = -3$. Вторая точка пересечения: $(-4, -3)$.

Графическая иллюстрация: уравнение $x^2 + y^2 = 25$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$. Уравнение $y = \frac{3}{4}x$ задает прямую, проходящую через начало координат и, например, точку $(4, 3)$. На графике видно, что прямая и окружность пересекаются в двух точках, симметричных относительно начала координат.

Ответ: $(4, 3)$ и $(-4, -3)$.

б) $x + y = 6$ и $x^2 + y^2 = 20$

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 6 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 + (6 - x)^2 = 20$

$x^2 + 36 - 12x + x^2 = 20$

$2x^2 - 12x + 16 = 0$

Разделим уравнение на 2, чтобы упростить его:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y = 6 - x$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 6 - 2 = 4$. Первая точка пересечения: $(2, 4)$.

Если $x_2 = 4$, то $y_2 = 6 - 4 = 2$. Вторая точка пересечения: $(4, 2)$.

Графическая иллюстрация: уравнение $x^2 + y^2 = 20$ задает окружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.47$. Уравнение $x + y = 6$ задает прямую, которая пересекает оси координат в точках $(6, 0)$ и $(0, 6)$. График показывает, что прямая пересекает окружность в двух точках в первой четверти.

Ответ: $(2, 4)$ и $(4, 2)$.

в) $y = -\frac{2}{3}x$ и $x^2 + y^2 = 13$

Подставим выражение для $y$ из уравнения прямой в уравнение окружности:

$x^2 + (-\frac{2}{3}x)^2 = 13$

$x^2 + \frac{4}{9}x^2 = 13$

$\frac{9x^2 + 4x^2}{9} = 13$

$\frac{13x^2}{9} = 13$

$x^2 = 9$

Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = -\frac{2}{3}x$:

Если $x_1 = 3$, то $y_1 = -\frac{2}{3} \cdot 3 = -2$. Первая точка пересечения: $(3, -2)$.

Если $x_2 = -3$, то $y_2 = -\frac{2}{3} \cdot (-3) = 2$. Вторая точка пересечения: $(-3, 2)$.

Графическая иллюстрация: уравнение $x^2 + y^2 = 13$ задает окружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{13} \approx 3.6$. Уравнение $y = -\frac{2}{3}x$ задает прямую, проходящую через начало координат и, например, точку $(3, -2)$. На графике видно, что прямая и окружность пересекаются в двух точках, расположенных во второй и четвертой координатных четвертях.

Ответ: $(3, -2)$ и $(-3, 2)$.

г) $x - y = 0$ и $x^2 + y^2 = 16$

Из первого уравнения следует, что $y = x$.

Подставим это во второе уравнение:

$x^2 + x^2 = 16$

$2x^2 = 16$

$x^2 = 8$

$x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.

Поскольку $y = x$, то значения $y$ будут такими же:

Если $x_1 = 2\sqrt{2}$, то $y_1 = 2\sqrt{2}$. Первая точка пересечения: $(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$.

Если $x_2 = -2\sqrt{2}$, то $y_2 = -2\sqrt{2}$. Вторая точка пересечения: $(-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$.

Графическая иллюстрация: уравнение $x^2 + y^2 = 16$ задает окружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$. Уравнение $x - y = 0$ или $y = x$ задает прямую, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. График показывает, что эта прямая пересекает окружность в двух точках, симметричных относительно начала координат.

Ответ: $(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$ и $(-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$.