Страница 208 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

675 Туристский маршрут от станции к озеру идёт сначала в гору, а затем с горы. При подъёме туристы идут со скоростью $3 \text{ км/ч}$, а при спуске — $6 \text{ км/ч}$. Путь от станции к озеру занимает $3,5 \text{ ч}$, а обратный путь — $4 \text{ ч}$. Найдите длину маршрута.

Для решения задачи введём переменные. Пусть длина участка маршрута, идущего в гору от станции к озеру, равна $x$ км, а длина участка, идущего с горы, равна $y$ км. Тогда общая длина маршрута в одну сторону составляет $(x + y)$ км.

Согласно условию, скорость туристов при подъёме в гору составляет 3 км/ч, а при спуске с горы — 6 км/ч.

Время в пути от станции к озеру складывается из времени, затраченного на подъём, и времени, затраченного на спуск. Время вычисляется по формуле $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость. Таким образом, время на подъём составляет $\frac{x}{3}$ ч, а время на спуск — $\frac{y}{6}$ ч. Общее время в пути до озера — 3,5 часа. Составим первое уравнение:

$\frac{x}{3} + \frac{y}{6} = 3.5$

На обратном пути от озера к станции участки меняются ролями: участок, который был спуском (длиной $y$), становится подъёмом, а участок, который был подъёмом (длиной $x$), становится спуском. Время на подъём на обратном пути составит $\frac{y}{3}$ ч, а время на спуск — $\frac{x}{6}$ ч. Общее время на обратный путь — 4 часа. Составим второе уравнение:

$\frac{y}{3} + \frac{x}{6} = 4$

Получим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{6} = 3.5 \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 4 \end{cases}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим оба уравнения на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 6):

$\begin{cases} 6 \cdot (\frac{x}{3} + \frac{y}{6}) = 6 \cdot 3.5 \\ 6 \cdot (\frac{x}{6} + \frac{y}{3}) = 6 \cdot 4 \end{cases}$

$\begin{cases} 2x + y = 21 \\ x + 2y = 24 \end{cases}$

Нам необходимо найти длину маршрута, то есть величину $x + y$. Сложим два полученных уравнения:

$(2x + y) + (x + 2y) = 21 + 24$

Приведём подобные слагаемые:

$3x + 3y = 45$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3(x + y) = 45$

Теперь найдём значение $(x+y)$, разделив обе части уравнения на 3:

$x + y = \frac{45}{3}$

$x + y = 15$

Таким образом, длина маршрута от станции к озеру составляет 15 км.

Ответ: 15 км.

676 Некоторая сумма денег была помещена в банк на два разных вклада: один с доходом 6% в год, а другой — 5% в год. Общий годовой доход составил 510 р. Если внесённые вклады поменять местами, то годовой доход составит 480 р. Какая сумма внесена в банк?

Пусть $x$ рублей — это сумма, вложенная на первый вклад, а $y$ рублей — сумма, вложенная на второй вклад.

Первый вклад имеет доходность 6% в год, что составляет $0.06x$ рублей. Второй вклад имеет доходность 5% в год, что составляет $0.05y$ рублей. Общий годовой доход по условию равен 510 рублям. На основе этих данных мы можем составить первое уравнение:
$0.06x + 0.05y = 510$

Далее, по условию, если вклады поменять местами, то есть сумму $x$ вложить под 5%, а сумму $y$ — под 6%, то годовой доход составит 480 рублей. Это дает нам второе уравнение:
$0.05x + 0.06y = 480$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$$ \begin{cases} 0.06x + 0.05y = 510 \\ 0.05x + 0.06y = 480 \end{cases} $$

Вопрос задачи — найти общую сумму, внесенную в банк, то есть $x + y$. Для этого сложим оба уравнения системы:
$(0.06x + 0.05y) + (0.05x + 0.06y) = 510 + 480$

Приведем подобные слагаемые:
$0.11x + 0.11y = 990$

Вынесем общий множитель $0.11$ за скобки:
$0.11(x + y) = 990$

Теперь выразим искомую сумму $x + y$:
$x + y = \frac{990}{0.11}$
Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 100:
$x + y = \frac{99000}{11}$
$x + y = 9000$

Таким образом, общая сумма, внесенная в банк, составляет 9000 рублей.

Ответ: 9000 р.

677 Имеется 40 красных фишек и 45 синих. Их раскладывают на плоской поверхности следующим образом: красные фишки образуют вершины правильного шестиугольника, в центр которого кладётся синяя фишка, а синие фишки образуют вершины квадрата, в центр которого кладётся красная фишка (рис. 4.35).

Существует ли такой способ разложения фишек, при котором все они будут использованы?

Если существует, то сколько шестиугольников и сколько квадратов получится?

Замечание. Многоугольники не должны иметь общих вершин.

678 В магазине смешали конфеты по 110 р. за килограмм и по 150 р. за килограмм и получили смесь по 120 р. за килограмм. Сколько

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество шестиугольников, а $y$ — количество квадратов.

Согласно условию и рисунку, на создание одной фигуры-шестиугольника уходит 6 красных фишек и 1 синяя фишка.

На создание одной фигуры-квадрата уходит 1 красная фишка и 4 синие фишки.

Всего в наличии есть 40 красных и 45 синих фишек. Если предположить, что все фишки можно использовать, то мы можем составить систему уравнений, описывающую расход фишек каждого цвета.

Уравнение для красных фишек: $6x + y = 40$

Уравнение для синих фишек: $x + 4y = 45$

Теперь необходимо решить эту систему уравнений. Проще всего это сделать методом подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 40 - 6x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение: $x + 4(40 - 6x) = 45$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно переменной $x$: $x + 160 - 24x = 45$

Приведем подобные слагаемые: $160 - 23x = 45$

Перенесем свободные члены в правую часть уравнения: $23x = 160 - 45$

$23x = 115$

$x = \frac{115}{23}$

$x = 5$

Итак, мы нашли количество шестиугольников: 5. Теперь найдем количество квадратов, подставив значение $x$ в выражение для $y$: $y = 40 - 6 \cdot 5 = 40 - 30 = 10$

Таким образом, количество квадратов равно 10.

Поскольку мы получили целые неотрицательные числа для $x$ и $y$, это означает, что такой способ разложения фишек существует. Будет составлено 5 шестиугольников и 10 квадратов.

Ответ: Да, такой способ существует. Получится 5 шестиугольников и 10 квадратов.

678 В магазине смешали конфеты по 110 р. за килограмм и по 150 р. за килограмм и получили смесь по 120 р. за килограмм. Сколько граммов конфет того и другого сорта содержится в одном килограмме смеси?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это масса в килограммах конфет первого сорта (по 110 р. за кг), а $y$ — масса в килограммах конфет второго сорта (по 150 р. за кг) в одном килограмме смеси.

Так как общая масса смеси равна 1 кг, мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 1$

Стоимость 1 кг смеси составляет 120 рублей. Эта стоимость складывается из стоимости конфет первого сорта ($110x$ рублей) и стоимости конфет второго сорта ($150y$ рублей). Это дает нам второе уравнение:

$110x + 150y = 120$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x + y = 1 \\ 110x + 150y = 120 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 1 - y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$110(1 - y) + 150y = 120$

Теперь решим полученное уравнение относительно $y$:

$110 - 110y + 150y = 120$

$40y = 120 - 110$

$40y = 10$

$y = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} = 0.25$

Итак, масса конфет второго сорта в смеси составляет 0,25 кг.

Теперь найдем массу конфет первого сорта, подставив значение $y$ в первое уравнение:

$x = 1 - 0.25 = 0.75$

Масса конфет первого сорта в смеси составляет 0,75 кг.

В вопросе требуется указать массу в граммах. Переведем полученные значения в граммы, зная, что в 1 кг содержится 1000 г:

Масса конфет первого сорта (по 110 р./кг): $0.75 \text{ кг} \times 1000 = 750$ г.

Масса конфет второго сорта (по 150 р./кг): $0.25 \text{ кг} \times 1000 = 250$ г.

Ответ: в одном килограмме смеси содержится 750 граммов конфет по 110 р. за килограмм и 250 граммов конфет по 150 р. за килограмм.

679 а) В колбу налили некоторое количество 60%-ного раствора соли и некоторое количество 80%-ного раствора этой же соли. Получили 35 мл раствора, содержащего 72% соли. Сколько миллилитров каждого раствора налили в колбу? Решите задачу, используя следующий план:

1) Обозначьте буквами количество 60%-ного и 80%-ного растворов соли, налитых в колбу.

2) Запишите уравнение, связывающее эти две величины и общее количество раствора.

3) Определите количество соли в получившемся растворе.

4) Запишите уравнение, связывающее количество соли в 60%-ном, 80%-ном и получившемся растворах.

5) Составьте систему и решите её.

б) Для проведения опыта научный сотрудник химической лаборатории смешал 4%-ный и 10%-ный растворы некоторого химического вещества и получил 75 мл 8%-ного раствора этого вещества. Сколько миллилитров 4%-ного и сколько миллилитров 10%-ного растворов было взято?

а)

1) Обозначьте буквами количество 60%-ного и 80%-ного растворов соли, налитых в колбу.

Пусть $x$ мл — количество 60%-ного раствора соли, а $y$ мл — количество 80%-ного раствора соли.

2) Запишите уравнение, связывающее эти две величины и общее количество раствора.

Поскольку общий объем полученного раствора составляет 35 мл, то первое уравнение, связывающее объемы исходных растворов, будет:

$x + y = 35$

3) Определите количество соли в получившемся растворе.

Получившийся раствор объемом 35 мл содержит 72% соли. Количество (масса) соли в нем равно:

$35 \cdot 0,72 = 25,2$ мл (или граммов, если принять плотность раствора за 1 г/мл).

4) Запишите уравнение, связывающее количество соли в 60%-ном, 80%-ном и получившемся растворах.

Количество соли в $x$ мл 60%-ного раствора равно $x \cdot 0,60 = 0,6x$.

Количество соли в $y$ мл 80%-ного раствора равно $y \cdot 0,80 = 0,8y$.

Сумма количества соли в исходных растворах равна количеству соли в получившемся растворе. Таким образом, второе уравнение:

$0,6x + 0,8y = 25,2$

5) Составьте систему и решите её.

Составим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 35 \\ 0,6x + 0,8y = 25,2 \end{cases}$

Для решения системы выразим $y$ из первого уравнения: $y = 35 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$0,6x + 0,8(35 - x) = 25,2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$0,6x + 28 - 0,8x = 25,2$

$-0,2x = 25,2 - 28$

$-0,2x = -2,8$

$x = \frac{-2,8}{-0,2}$

$x = 14$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 14$ в выражение $y = 35 - x$:

$y = 35 - 14 = 21$

Таким образом, в колбу налили 14 мл 60%-ного раствора и 21 мл 80%-ного раствора.

Ответ: было налито 14 мл 60%-ного раствора и 21 мл 80%-ного раствора.

б)

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ мл — количество 4%-ного раствора, а $y$ мл — количество 10%-ного раствора, которые смешал научный сотрудник.

По условию, общий объем полученного раствора составляет 75 мл. Составим первое уравнение, отражающее сумму объемов:

$x + y = 75$

Теперь составим второе уравнение, основанное на количестве чистого химического вещества. Количество вещества в 4%-ном растворе: $x \cdot 0,04 = 0,04x$. Количество вещества в 10%-ном растворе: $y \cdot 0,10 = 0,1y$. Количество вещества в итоговом 8%-ном растворе объемом 75 мл: $75 \cdot 0,08 = 6$ мл.

Сумма количества вещества в исходных растворах равна его количеству в конечном растворе. Второе уравнение:

$0,04x + 0,1y = 6$

Получим систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 75 \\ 0,04x + 0,1y = 6 \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 75 - y$.

Подставим это выражение во второе уравнение и решим его:

$0,04(75 - y) + 0,1y = 6$

$3 - 0,04y + 0,1y = 6$

$0,06y = 6 - 3$

$0,06y = 3$

$y = \frac{3}{0,06} = \frac{300}{6} = 50$

Теперь найдем $x$:

$x = 75 - y = 75 - 50 = 25$

Следовательно, для проведения опыта было взято 25 мл 4%-ного раствора и 50 мл 10%-ного раствора.

Ответ: было взято 25 мл 4%-ного раствора и 50 мл 10%-ного раствора.