Номер 679, страница 208 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 679, страница 208.

Условие.

679 а) В колбу налили некоторое количество 60%-ного раствора соли и некоторое количество 80%-ного раствора этой же соли. Получили 35 мл раствора, содержащего 72% соли. Сколько миллилитров каждого раствора налили в колбу? Решите задачу, используя следующий план:

1) Обозначьте буквами количество 60%-ного и 80%-ного растворов соли, налитых в колбу.

2) Запишите уравнение, связывающее эти две величины и общее количество раствора.

3) Определите количество соли в получившемся растворе.

4) Запишите уравнение, связывающее количество соли в 60%-ном, 80%-ном и получившемся растворах.

5) Составьте систему и решите её.

б) Для проведения опыта научный сотрудник химической лаборатории смешал 4%-ный и 10%-ный растворы некоторого химического вещества и получил 75 мл 8%-ного раствора этого вещества. Сколько миллилитров 4%-ного и сколько миллилитров 10%-ного растворов было взято?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

1) Обозначьте буквами количество 60%-ного и 80%-ного растворов соли, налитых в колбу.

Пусть $x$ мл — количество 60%-ного раствора соли, а $y$ мл — количество 80%-ного раствора соли.

2) Запишите уравнение, связывающее эти две величины и общее количество раствора.

Поскольку общий объем полученного раствора составляет 35 мл, то первое уравнение, связывающее объемы исходных растворов, будет:

$x + y = 35$

3) Определите количество соли в получившемся растворе.

Получившийся раствор объемом 35 мл содержит 72% соли. Количество (масса) соли в нем равно:

$35 \cdot 0,72 = 25,2$ мл (или граммов, если принять плотность раствора за 1 г/мл).

4) Запишите уравнение, связывающее количество соли в 60%-ном, 80%-ном и получившемся растворах.

Количество соли в $x$ мл 60%-ного раствора равно $x \cdot 0,60 = 0,6x$.

Количество соли в $y$ мл 80%-ного раствора равно $y \cdot 0,80 = 0,8y$.

Сумма количества соли в исходных растворах равна количеству соли в получившемся растворе. Таким образом, второе уравнение:

$0,6x + 0,8y = 25,2$

5) Составьте систему и решите её.

Составим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 35 \\ 0,6x + 0,8y = 25,2 \end{cases}$

Для решения системы выразим $y$ из первого уравнения: $y = 35 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$0,6x + 0,8(35 - x) = 25,2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$0,6x + 28 - 0,8x = 25,2$

$-0,2x = 25,2 - 28$

$-0,2x = -2,8$

$x = \frac{-2,8}{-0,2}$

$x = 14$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 14$ в выражение $y = 35 - x$:

$y = 35 - 14 = 21$

Таким образом, в колбу налили 14 мл 60%-ного раствора и 21 мл 80%-ного раствора.

Ответ: было налито 14 мл 60%-ного раствора и 21 мл 80%-ного раствора.

б)

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ мл — количество 4%-ного раствора, а $y$ мл — количество 10%-ного раствора, которые смешал научный сотрудник.

По условию, общий объем полученного раствора составляет 75 мл. Составим первое уравнение, отражающее сумму объемов:

$x + y = 75$

Теперь составим второе уравнение, основанное на количестве чистого химического вещества. Количество вещества в 4%-ном растворе: $x \cdot 0,04 = 0,04x$. Количество вещества в 10%-ном растворе: $y \cdot 0,10 = 0,1y$. Количество вещества в итоговом 8%-ном растворе объемом 75 мл: $75 \cdot 0,08 = 6$ мл.

Сумма количества вещества в исходных растворах равна его количеству в конечном растворе. Второе уравнение:

$0,04x + 0,1y = 6$

Получим систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 75 \\ 0,04x + 0,1y = 6 \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 75 - y$.

Подставим это выражение во второе уравнение и решим его:

$0,04(75 - y) + 0,1y = 6$

$3 - 0,04y + 0,1y = 6$

$0,06y = 6 - 3$

$0,06y = 3$

$y = \frac{3}{0,06} = \frac{300}{6} = 50$

Теперь найдем $x$:

$x = 75 - y = 75 - 50 = 25$

Следовательно, для проведения опыта было взято 25 мл 4%-ного раствора и 50 мл 10%-ного раствора.

Ответ: было взято 25 мл 4%-ного раствора и 50 мл 10%-ного раствора.