Номер 672, страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 672, страница 207.

Условие.

672 a) Произведение двух чисел равно 84, а их сумма равна 20. Найдите эти числа.

б) Произведение двух положительных чисел равно 120, и одно из них на 7 больше другого. Найдите эти числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Пусть искомые числа — это $x$ и $y$. Согласно условию задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

1. Произведение чисел равно 84: $x \cdot y = 84$

2. Сумма чисел равна 20: $x + y = 20$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 20 - x$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

$x(20 - x) = 84$

Раскроем скобки:

$20x - x^2 = 84$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 20x + 84 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 400 - 336 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{20 + \sqrt{64}}{2} = \frac{20 + 8}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$x_2 = \frac{20 - \sqrt{64}}{2} = \frac{20 - 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Мы нашли возможные значения для одного из чисел. Теперь найдем соответствующие значения для второго числа $y$:

Если $x_1 = 14$, то $y_1 = 20 - 14 = 6$.

Если $x_2 = 6$, то $y_2 = 20 - 6 = 14$.

В обоих случаях мы получаем пару чисел 6 и 14. Проверим их:

Сумма: $6 + 14 = 20$.

Произведение: $6 \cdot 14 = 84$.

Оба условия задачи выполняются.

Ответ: 6 и 14.

б)

Пусть меньшее из двух положительных чисел равно $x$. По условию, другое число на 7 больше, значит, оно равно $x + 7$.

Их произведение равно 120. Составим уравнение на основе этого условия:

$x(x + 7) = 120$

Раскроем скобки:

$x^2 + 7x = 120$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 7x - 120 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 49 + 480 = 529$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{529}}{2} = \frac{-7 + 23}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{529}}{2} = \frac{-7 - 23}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Согласно условию, числа должны быть положительными, поэтому корень $x_2 = -15$ не подходит.

Следовательно, меньшее число равно 8. Найдем второе число:

$x + 7 = 8 + 7 = 15$

Искомые числа — это 8 и 15. Проверим их:

Числа положительные: 8 > 0 и 15 > 0.

Произведение: $8 \cdot 15 = 120$.

Разница: $15 - 8 = 7$.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: 8 и 15.