Номер 673, страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 673, страница 207.

Условие.

673 а) В парке под аттракционы отвели участок прямоугольной формы площадью $720 \text{ м}^2$. Длина ограждения этого участка 108 м. Найдите размеры участка.

б) Площадь газона прямоугольной формы $375 \text{ м}^2$. Одна из его сторон на 10 м больше другой. Найдите размеры газона.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Пусть длина прямоугольного участка равна $a$ метров, а ширина — $b$ метров.

Площадь участка ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию, $S = 720 \text{ м}^2$.
$a \cdot b = 720$

Длина ограждения — это периметр участка ($P$), который вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. По условию, $P = 108 \text{ м}$.
$2(a + b) = 108$

Получаем систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} a \cdot b = 720 \\ 2(a + b) = 108 \end{cases} $

Решим эту систему. Из второго уравнения найдем сумму сторон:
$a + b = \frac{108}{2}$
$a + b = 54$

Выразим одну переменную через другую, например, $a = 54 - b$.

Подставим это выражение в первое уравнение:
$(54 - b) \cdot b = 720$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$54b - b^2 = 720$
$b^2 - 54b + 720 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = (-54)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 720 = 2916 - 2880 = 36$
$\sqrt{D} = 6$

Найдем возможные значения для $b$:
$b_1 = \frac{54 + 6}{2} = \frac{60}{2} = 30$
$b_2 = \frac{54 - 6}{2} = \frac{48}{2} = 24$

Если одна сторона равна 30 м, то вторая $a = 54 - 30 = 24$ м.
Если одна сторона равна 24 м, то вторая $a = 54 - 24 = 30$ м.
В обоих случаях размеры участка одинаковы.

Ответ: размеры участка 24 м и 30 м.

б)

Пусть меньшая сторона газона равна $x$ метров.
Тогда, по условию, большая сторона равна $(x + 10)$ метров.

Площадь газона ($S$) равна произведению его сторон:
$S = x \cdot (x + 10)$

По условию, площадь равна $375 \text{ м}^2$. Составим и решим уравнение:
$x(x + 10) = 375$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 + 10x = 375$
$x^2 + 10x - 375 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-375) = 100 + 1500 = 1600$
$\sqrt{D} = 40$

Найдем возможные значения для $x$:
$x_1 = \frac{-10 + 40}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-10 - 40}{2} = \frac{-50}{2} = -25$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, значение $x = -25$ не является решением задачи.
Следовательно, меньшая сторона газона равна 15 м.

Тогда большая сторона равна $15 + 10 = 25$ м.

Ответ: размеры газона 15 м и 25 м.