Номер 668, страница 206 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 668, страница 206.

Условие.

668 а) Два отдела института приобрели писчую бумагу и скрепки. Один отдел за 5 пачек бумаги и 4 коробки скрепок заплатил 1440 р., а другой отдел за 2 такие же пачки бумаги и 2 коробки скрепок заплатил 600 р. Сколько стоит одна пачка бумаги и одна коробка скрепок?

б) В кафе в понедельник было продано 56 пирожков и 20 бутылок воды на 872 р., а во вторник — 50 пирожков и 40 бутылок воды на 1000 р. Определите цену одного пирожка и одной бутылки воды.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для решения этой задачи составим систему линейных уравнений. Пусть $x$ — это цена одной пачки бумаги в рублях, а $y$ — цена одной коробки скрепок в рублях.

Исходя из данных о покупке первого отдела, мы можем составить первое уравнение: 5 пачек бумаги и 4 коробки скрепок стоят 1440 рублей.

$5x + 4y = 1440$

Исходя из данных о покупке второго отдела, мы можем составить второе уравнение: 2 пачки бумаги и 2 коробки скрепок стоят 600 рублей.

$2x + 2y = 600$

Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 2:

$(2x + 2y) \div 2 = 600 \div 2$

$x + y = 300$

Теперь у нас есть система уравнений:

$\begin{cases} 5x + 4y = 1440 \\ x + y = 300 \end{cases}$

Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 300 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$5x + 4(300 - x) = 1440$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$5x + 1200 - 4x = 1440$

$x + 1200 = 1440$

$x = 1440 - 1200$

$x = 240$

Итак, цена одной пачки бумаги составляет 240 рублей. Теперь найдем цену коробки скрепок, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 300 - 240$

$y = 60$

Цена одной коробки скрепок составляет 60 рублей.

Проверим решение:
Первый отдел: $5 \cdot 240 + 4 \cdot 60 = 1200 + 240 = 1440$ р. (верно).
Второй отдел: $2 \cdot 240 + 2 \cdot 60 = 480 + 120 = 600$ р. (верно).

Ответ: одна пачка бумаги стоит 240 рублей, а одна коробка скрепок — 60 рублей.

б)

Для решения этой задачи также составим систему уравнений. Пусть $p$ — это цена одного пирожка в рублях, а $w$ — цена одной бутылки воды в рублях.

Из данных о продажах в понедельник получаем первое уравнение: 56 пирожков и 20 бутылок воды стоили 872 рубля.

$56p + 20w = 872$

Из данных о продажах во вторник получаем второе уравнение: 50 пирожков и 40 бутылок воды стоили 1000 рублей.

$50p + 40w = 1000$

Мы получили систему уравнений:

$\begin{cases} 56p + 20w = 872 \\ 50p + 40w = 1000 \end{cases}$

Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 10:

$(50p + 40w) \div 10 = 1000 \div 10$

$5p + 4w = 100$

Выразим $4w$ из этого уравнения:

$4w = 100 - 5p$

Теперь вернемся к первому уравнению: $56p + 20w = 872$. Заметим, что $20w = 5 \cdot (4w)$. Подставим сюда наше выражение для $4w$:

$56p + 5(100 - 5p) = 872$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $p$:

$56p + 500 - 25p = 872$

$31p + 500 = 872$

$31p = 872 - 500$

$31p = 372$

$p = 372 \div 31$

$p = 12$

Цена одного пирожка составляет 12 рублей. Теперь найдем цену бутылки воды, подставив значение $p$ в упрощенное второе уравнение $5p + 4w = 100$:

$5(12) + 4w = 100$

$60 + 4w = 100$

$4w = 100 - 60$

$4w = 40$

$w = 10$

Цена одной бутылки воды составляет 10 рублей.

Проверим решение:
Понедельник: $56 \cdot 12 + 20 \cdot 10 = 672 + 200 = 872$ р. (верно).
Вторник: $50 \cdot 12 + 40 \cdot 10 = 600 + 400 = 1000$ р. (верно).

Ответ: цена одного пирожка — 12 рублей, а цена одной бутылки воды — 10 рублей.