Номер 663, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 663, страница 203.

Условие.

663 РАССУЖДАЕМ Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению:

a) $x^2 - y^2 = 64$;

б) $x^2 - y^2 = 15;$

в) $x^2 - y^2 = 44.$

Указание. a) Разложите на множители левую часть уравнения, получится уравнение $(x-y)(x+y) = 64$. Числа $x - y$ и $x + y$ — натуральные, причём их произведение равно 64. Найдите все пары натуральных чисел, дающих в произведении 64, и составьте соответствующие системы уравнений. Чтобы не выписывать лишние системы уравнений, можно учесть, что $x > y$, а $x - y < x + y$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Разложим левую часть уравнения $x^2 - y^2 = 64$ на множители, используя формулу разности квадратов:

$(x - y)(x + y) = 64$

Поскольку $x$ и $y$ по условию являются натуральными числами, то их сумма $x+y$ и разность $x-y$ являются целыми числами. Так как произведение $(x-y)(x+y) = 64 > 0$ и сумма $x+y > 0$, то и разность $x-y$ должна быть положительным числом. Это означает, что $x > y$, и, следовательно, $x-y$ является натуральным числом.

Обозначим $a = x-y$ и $b = x+y$. Числа $a$ и $b$ — натуральные делители числа 64. Также, поскольку $y$ — натуральное число ($y \ge 1$), то $x+y = (x-y) + 2y > x-y$, следовательно, $b > a$.

Решим систему уравнений относительно $x$ и $y$: $\begin{cases} x - y = a \\ x + y = b \end{cases}$

Сложив уравнения, получим $2x = a+b$, откуда $x = \frac{a+b}{2}$. Вычтя первое уравнение из второго, получим $2y = b-a$, откуда $y = \frac{b-a}{2}$.

Для того чтобы $x$ и $y$ были целыми числами, необходимо, чтобы выражения $a+b$ и $b-a$ были четными. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковую четность (оба четные или оба нечетные).

Найдем все пары натуральных делителей $(a, b)$ числа 64, для которых $a < b$: Делители 64: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Пары $(a, b)$: (1, 64), (2, 32), (4, 16).

Проверим каждую пару на условие одинаковой четности:
1. Пара (1, 64): 1 — нечетное, 64 — четное. Четность разная, эта пара не дает целочисленных решений.
2. Пара (2, 32): оба числа четные. Эта пара дает решение. $\begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 32 \end{cases} \Rightarrow 2x = 34, x = 17; \quad 2y = 30, y = 15$. Пара $(17, 15)$ — решение.
3. Пара (4, 16): оба числа четные. Эта пара дает решение. $\begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = 16 \end{cases} \Rightarrow 2x = 20, x = 10; \quad 2y = 12, y = 6$. Пара $(10, 6)$ — решение.

Ответ: $(17, 15)$, $(10, 6)$.

б)

Рассмотрим уравнение $x^2 - y^2 = 15$. Разложим левую часть на множители:

$(x - y)(x + y) = 15$

Аналогично предыдущему пункту, $x-y$ и $x+y$ — натуральные делители числа 15, причем $x-y < x+y$. Для целочисленности решений $x$ и $y$ необходимо, чтобы множители $x-y$ и $x+y$ имели одинаковую четность.

Найдем пары натуральных делителей $(a, b)$ числа 15, для которых $a < b$: Делители 15: 1, 3, 5, 15. Пары $(a, b)$: (1, 15), (3, 5).

Проверим каждую пару:
1. Пара (1, 15): оба числа нечетные. Четность совпадает. $\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 15 \end{cases} \Rightarrow 2x = 16, x = 8; \quad 2y = 14, y = 7$. Пара $(8, 7)$ — решение.
2. Пара (3, 5): оба числа нечетные. Четность совпадает. $\begin{cases} x - y = 3 \\ x + y = 5 \end{cases} \Rightarrow 2x = 8, x = 4; \quad 2y = 2, y = 1$. Пара $(4, 1)$ — решение.

Ответ: $(8, 7)$, $(4, 1)$.

в)

Рассмотрим уравнение $x^2 - y^2 = 44$. Разложим левую часть на множители:

$(x - y)(x + y) = 44$

Множители $x-y$ и $x+y$ — натуральные делители числа 44, причем $x-y < x+y$ и они должны иметь одинаковую четность.

Найдем пары натуральных делителей $(a, b)$ числа 44, для которых $a < b$: Делители 44: 1, 2, 4, 11, 22, 44. Пары $(a, b)$: (1, 44), (2, 22), (4, 11).

Проверим каждую пару на условие одинаковой четности:
1. Пара (1, 44): 1 — нечетное, 44 — четное. Четность разная, решений нет.
2. Пара (2, 22): оба числа четные. Четность совпадает. $\begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 22 \end{cases} \Rightarrow 2x = 24, x = 12; \quad 2y = 20, y = 10$. Пара $(12, 10)$ — решение.
3. Пара (4, 11): 4 — четное, 11 — нечетное. Четность разная, решений нет.

Ответ: $(12, 10)$.