Номер 660, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 4. Системы уравнений. 4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Упражнения - номер 660, страница 203.

Условие.

660 Решите систему уравнений:

a) $ \begin{cases} x + y = -2 \\ y + z = 4 \\ z + x = 2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x + y + z = 0 \\ y + z + u = 5 \\ z + u + x = 6 \\ u + x + y = 1. \end{cases} $

Указание. a) Сложите все уравнения системы и в полученное уравнение подставьте поочерёдно значения $x + y$, $y + z$ и $z + x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = -2 \\ y + z = 4 \\ z + x = 2 \end{cases} $

Следуя указанию, сложим все три уравнения системы:

$(x + y) + (y + z) + (z + x) = -2 + 4 + 2$

Приведя подобные слагаемые в левой части, получаем:

$2x + 2y + 2z = 4$

Разделим обе части полученного уравнения на 2:

$x + y + z = 2$

Теперь в полученное уравнение будем поочередно подставлять выражения из исходной системы.

1. Подставим значение $x + y = -2$ из первого уравнения в $x + y + z = 2$:

$(x + y) + z = 2$

$-2 + z = 2$

$z = 4$

2. Подставим значение $y + z = 4$ из второго уравнения в $x + y + z = 2$:

$x + (y + z) = 2$

$x + 4 = 2$

$x = 2 - 4$

$x = -2$

3. Подставим значение $z + x = 2$ из третьего уравнения в $x + y + z = 2$:

$y + (z + x) = 2$

$y + 2 = 2$

$y = 0$

Проверим найденные значения: $x = -2, y = 0, z = 4$.

$x + y = -2 + 0 = -2$ (верно)

$y + z = 0 + 4 = 4$ (верно)

$z + x = 4 + (-2) = 2$ (верно)

Ответ: $x = -2, y = 0, z = 4$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y + z = 0 \\ y + z + u = 5 \\ z + u + x = 6 \\ u + x + y = 1 \end{cases} $

Решим эту систему аналогичным методом. Сложим все четыре уравнения:

$(x + y + z) + (y + z + u) + (z + u + x) + (u + x + y) = 0 + 5 + 6 + 1$

Сгруппируем переменные:

$3x + 3y + 3z + 3u = 12$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x + y + z + u = 4$

Теперь в полученное уравнение будем поочередно подставлять выражения из исходной системы.

1. Подставим $x + y + z = 0$ из первого уравнения:

$(x + y + z) + u = 4$

$0 + u = 4$

$u = 4$

2. Подставим $y + z + u = 5$ из второго уравнения:

$x + (y + z + u) = 4$

$x + 5 = 4$

$x = 4 - 5$

$x = -1$

3. Подставим $z + u + x = 6$ из третьего уравнения:

$y + (z + u + x) = 4$

$y + 6 = 4$

$y = 4 - 6$

$y = -2$

4. Подставим $u + x + y = 1$ из четвертого уравнения:

$z + (u + x + y) = 4$

$z + 1 = 4$

$z = 4 - 1$

$z = 3$

Проверим найденные значения: $x = -1, y = -2, z = 3, u = 4$.

$x + y + z = -1 + (-2) + 3 = 0$ (верно)

$y + z + u = -2 + 3 + 4 = 5$ (верно)

$z + u + x = 3 + 4 + (-1) = 6$ (верно)

$u + x + y = 4 + (-1) + (-2) = 1$ (верно)

Ответ: $x = -1, y = -2, z = 3, u = 4$.